Función zeta de Hasse-Weil
En matemáticas , la función zeta de Hasse-Weil unido a una variedad algebraica V definida sobre un campo de número de algebraica K es uno de los dos tipos más importantes de L-función . Estas funciones L se denominan "globales", en el sentido de que se definen como productos de Euler en términos de funciones zeta locales . Forman una de las dos clases principales de funciones L globales, siendo la otra las funciones L asociadas a representaciones automórficas . Conjeturalmente, solo hay un tipo esencial de L global-función, con dos descripciones (procedente de una variedad algebraica, procedente de una representación automórfica); esto sería una vasta generalización de la conjetura de Taniyama-Weil , en sí misma un resultado muy profundo en la teoría de números .
La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente simple. Esto sigue las sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil , motivadas por el caso en el que V es un solo punto, y resulta la función zeta de Riemann .
Tomando el caso de K el campo numérico racional Q , y V una variedad proyectiva no singular , podemos para casi todos los números primos p considerar la reducción de V módulo p , una variedad algebraica V p sobre el campo finito F p con p elementos , simplemente reduciendo las ecuaciones para V . En teoría, esta reducción es solo el retroceso de V a lo largo del mapa canónico Spec F p → Spec Z . Nuevamente, para casi todos los p no será singular. Definimos
ser la serie de Dirichlet de la variable compleja s , que es el producto infinito de las funciones zeta locales
Entonces Z ( s ), según nuestra definición, está bien definido solo hasta la multiplicación por funciones racionales en un número finito de .
Dado que la indeterminación es relativamente inofensiva y tiene continuación meromórfica en todas partes, hay un sentido en el que las propiedades de Z (s) no dependen esencialmente de ella. En particular, mientras que la forma exacta de la ecuación funcional para Z ( s ), reflejada en una línea vertical en el plano complejo, definitivamente dependerá de los factores "faltantes", la existencia de una ecuación funcional de este tipo no lo hace.