En matemáticas , la función zeta de Hasse-Weil unido a una variedad algebraica V definida sobre un campo de número de algebraica K es uno de los dos tipos más importantes de L-función . Estas funciones L se denominan "globales", en el sentido de que se definen como productos de Euler en términos de funciones zeta locales . Forman una de las dos clases principales de funciones L globales, siendo la otra las funciones L asociadas a representaciones automórficas . Conjeturalmente, solo hay un tipo esencial de L global-función, con dos descripciones (procedente de una variedad algebraica, procedente de una representación automórfica); esto sería una gran generalización de la conjetura de Taniyama-Shimura , en sí misma un resultado muy profundo y reciente (a partir de 2009 [actualizar]) en la teoría de números .
Definición
La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente simple. Esto sigue las sugerencias iniciales de Helmut Hasse y André Weil , motivadas por el caso en el que V es un solo punto, y resulta la función zeta de Riemann .
Tomando el caso de K el campo numérico racional Q , y V una variedad proyectiva no singular , podemos para casi todos los números primos p considerar la reducción de V módulo p , una variedad algebraica V p sobre el campo finito F p con p elementos , simplemente reduciendo las ecuaciones para V . Esquema-teóricamente, esta reducción es sólo el retroceso de V a lo largo del mapa canónica Spec F p → Spec Q . Nuevamente, para casi todos los p no será singular. Definimos
ser la serie de Dirichlet de la variable compleja s , que es el producto infinito de las funciones zeta locales
Entonces Z ( s ), según nuestra definición, está bien definido solo hasta la multiplicación por funciones racionales en un número finito de.
Dado que la indeterminación es relativamente inofensiva y tiene continuación meromórfica en todas partes, hay un sentido en el que las propiedades de Z (s) no dependen esencialmente de ella. En particular, mientras que la forma exacta de la ecuación funcional para Z ( s ), reflejada en una línea vertical en el plano complejo, definitivamente dependerá de los factores "faltantes", la existencia de alguna de estas ecuaciones funcionales no lo hace.
Una definición más refinada se hizo posible con el desarrollo de la cohomología étale ; esto explica claramente qué hacer con los factores de "mala reducción" que faltan. De acuerdo con los principios generales visibles en la teoría de la ramificación , los números primos "malos" llevan buena información (teoría del conductor ). Esto se manifiesta en la teoría étale en el criterio de Ogg-Néron-Shafarevich para una buena reducción ; a saber, que hay una buena reducción, en un sentido definido, en todos los números primos p para los cuales la representación de Galois ρ en los grupos de cohomología étale de V no está ramificada . Para aquellos, la definición de función zeta local se puede recuperar en términos del polinomio característico de
Frob ( p ) es un elemento de Frobenius para p . Lo que sucede en el p ramificado es que ρ no es trivial en el grupo de inercia I ( p ) para p . En esos números primos, la definición debe ser "corregida", tomando el mayor cociente de la representación ρ sobre la que actúa el grupo de inercia mediante la representación trivial . Con este refinamiento, la definición de Z ( s ) se puede actualizar con éxito de 'casi todos' p a todos los p que participan en el producto Euler. Las consecuencias para la ecuación funcional fueron elaboradas por Serre y Deligne a finales de la década de 1960; la ecuación funcional en sí no ha sido probada en general.
Ejemplo: curva elíptica sobre Q
Deje que E sea una curva elíptica sobre Q del conductor N . Entonces, E tiene una buena reducción en todos los primos p que no dividen N , tiene una reducción multiplicativa en los primos p que dividen exactamente N (es decir, tal que p divide a N , pero p 2 no; esto se escribe p || N ), y tiene reducción aditiva en otros lugares (es decir, en los números primos donde p 2 divide a N ). La función zeta de Hasse-Weil de E toma la forma
Aquí, ζ ( s ) es la función zeta de Riemann habitual y L ( s , E ) se llama la función L de E / Q , que toma la forma [1]
donde, para un primo p dado ,
donde, en el caso de una buena reducción a p es p + 1 - (número de puntos de E mod p ), y en el caso de una reducción multiplicativa a p es ± 1 dependiendo de si E tiene una reducción multiplicativa dividida o no dividida en p .
Conjetura de Hasse-Weil
La conjetura de Hasse-Weil establece que la función zeta de Hasse-Weil debería extenderse a una función meromórfica para todos los complejos s , y debería satisfacer una ecuación funcional similar a la de la función zeta de Riemann . Para curvas elípticas sobre números racionales, la conjetura de Hasse-Weil se deriva del teorema de modularidad .
Ver también
Referencias
- ^ Sección C.16 de Silverman, Joseph H. (1992), La aritmética de curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , 106 , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, MR 1329092
Bibliografía
- J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (definiciones y conjeturas) , 1969/1970, Sém. Delange – Pisot – Poitou, exposición 19