En la teoría cuántica de campos , el término módulos (o más propiamente campos de módulos ) se usa a veces para referirse a campos escalares cuya función de energía potencial tiene familias continuas de mínimos globales. Tales funciones potenciales ocurren con frecuencia en sistemas supersimétricos . El término "módulo" se toma prestado de las matemáticas, donde se utiliza como sinónimo de "parámetro". La palabra moduli ( Moduln en alemán) apareció por primera vez en 1857 en el célebre artículo de Bernhard Riemann "Theorie der Abel'schen Functionen". [1]
Espacios de módulos en las teorías cuánticas de campos
En las teorías cuánticas de campos, los posibles vacíos suelen estar etiquetados por los valores de expectativa de vacío de los campos escalares, ya que la invariancia de Lorentz fuerza a que desaparezcan los valores de expectativa de vacío de cualquier campo de espín superior. Estos valores esperados de vacío pueden tomar cualquier valor para el que la función potencial sea mínima. En consecuencia, cuando la función potencial tiene familias continuas de mínimos globales, el espacio de vacío para la teoría cuántica de campos es una variedad (o orbifold), generalmente llamada variedad de vacío . Esta variedad a menudo se denomina espacio de módulos de vacío , o simplemente espacio de módulos, para abreviar.
El término módulos también se utiliza en la teoría de cuerdas para referirse a varios parámetros continuos que etiquetan los posibles fondos de las cuerdas : el valor esperado del campo de dilatón , los parámetros (por ejemplo, el radio y la estructura compleja) que gobiernan la forma de la variedad de compactación, etc. . Estos parámetros están representados, en la teoría cuántica de campos que se aproxima a la teoría de cuerdas a bajas energías, por los valores esperados de vacío de los campos escalares sin masa, haciendo contacto con el uso descrito anteriormente. En la teoría de cuerdas, el término "espacio de módulos" se usa a menudo específicamente para referirse al espacio de todos los posibles fondos de cuerdas.
Espacios de módulos de teorías de gauge supersimétricas
En las teorías generales del campo cuántico, incluso si la energía potencial clásica se minimiza en un gran conjunto de posibles valores esperados, genéricamente una vez que se incluyen las correcciones cuánticas, casi todas estas configuraciones dejan de minimizar la energía. El resultado es que el conjunto de vacíos de la teoría cuántica es generalmente mucho más pequeño que el de la teoría clásica . Una excepción notable ocurre cuando los distintos vacíos en cuestión están relacionados por una simetría que garantiza que sus niveles de energía permanezcan exactamente degenerados.
La situación es muy diferente en las teorías de campos cuánticos supersimétricos . En general, estos poseen grandes espacios de módulos de vacío que no están relacionados por ninguna simetría, por ejemplo, las masas de las diversas excitaciones pueden diferir en varios puntos del espacio de módulos. Los espacios de módulos de las teorías de gauge supersimétricas son en general más fáciles de calcular que los de las teorías no superimétricas porque la supersimetría restringe las geometrías permitidas del espacio de módulos incluso cuando se incluyen correcciones cuánticas.
Espacios de módulos permitidos de teorías de 4 dimensiones
Cuanto más supersimetría haya, más fuerte será la restricción en el colector de vacío. Por lo tanto, si aparece una restricción a continuación para un número dado N de espinores de sobrealimentaciones, también se aplica a todos los valores mayores de N.
N = 1 Teorías
La primera restricción sobre la geometría de un espacio modular fue encontrada en 1979 por Bruno Zumino y publicada en el artículo Supersymmetry and Kähler Manifolds . Consideró una teoría N = 1 en 4 dimensiones con supersimetría global. N = 1 significa que los componentes fermiónicos del álgebra de supersimetría se pueden ensamblar en una sola supercarga de Majorana . Los únicos escalares en tal teoría son los complejos escalares de los supercampos quirales . Descubrió que el colector de vacío de los valores esperados de vacío permitidos para estos escalares no solo es complejo sino también un colector de Kähler .
Si se incluye la gravedad en la teoría, de modo que hay supersimetría local, entonces la teoría resultante se llama teoría de supergravedad y la restricción sobre la geometría del espacio de módulos se vuelve más fuerte. El espacio de módulos no solo debe ser Kähler, sino que también la forma Kähler debe elevarse a la cohomología integral . Tales variedades se denominan variedades de Hodge . El primer ejemplo apareció en el artículo de 1979 Ruptura de simetría espontánea y efecto de Higgs en supergravedad sin constante cosmológica y la declaración general apareció 3 años después en Cuantización de la constante de Newton en ciertas teorías de supergravedad .
N = 2 teorías
En las teorías de 4 dimensiones extendidas con supersimetría N = 2, correspondiente a una sola supercarga de espinor de Dirac , las condiciones son más fuertes. El álgebra de supersimetría N = 2 contiene dos representaciones con escalares, el multiplete vectorial que contiene un escalar complejo y el hipermultiplet que contiene dos escalares complejos. El espacio de los módulos de los multipletes vectoriales se denomina rama de Coulomb, mientras que el de los hipermultipletes se denomina rama de Higgs . El espacio total de módulos es localmente un producto de estas dos ramas, ya que los teoremas de no normalización implican que la métrica de cada una es independiente de los campos del otro multiplete (ver por ejemplo Argyres, Non-Perturbative Dynamics Of Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories , págs. 6-7, para un análisis más detallado de la estructura del producto local).
En el caso de la supersimetría global N = 2, en otras palabras, en ausencia de gravedad, la rama de Coulomb del espacio de módulos es una variedad especial de Kähler . El primer ejemplo de esta restricción apareció en el artículo de 1984 Potentials and Symmetries of General Gauged N = 2 Supergravity: Yang-Mills Models por Bernard de Wit y Antoine Van Proeyen , mientras que una descripción geométrica general de la geometría subyacente, llamada geometría especial , fue presentado por Andrew Strominger en su artículo de 1990 Special Geometry .
La rama de Higgs es una variedad hiperkähler, como lo demostraron Luis Alvarez-Gaume y Daniel Freedman en su artículo de 1981 Estructura geométrica y finitud ultravioleta en el modelo supersimétrico de Sigma . Incluyendo la gravedad, la supersimetría se vuelve local. Luego, es necesario agregar la misma condición de Hodge a la rama especial de Kahler Coulomb que en el caso N = 1. Jonathan Bagger y Edward Witten demostraron en su artículo de 1982 Matter Couplings in N = 2 Supergravity que, en este caso, la rama de Higgs debe ser una variedad de Kähler cuaterniónica .
N> 2 supersimetría
En supergravedades extendidas con N> 2, el espacio de módulos debe ser siempre un espacio simétrico .
Referencias
- ↑ Bernhard Riemann, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 54 (1857), págs. 101-155 "Theorie der Abel'schen Functionen" .
- N = 2 supergravedad y N = 2 superYang-Mills teoría sobre variedades escalares generales: covarianza simpléctica, calibres y el mapa de impulso contiene una revisión de las restricciones en los espacios de módulos en varias teorías de calibre supersimétricas.