En álgebra abstracta , un álgebra booleana monádica es una estructura algebraica A con firma
- ⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ de tipo ⟨2,2,1,0,0,1⟩,
donde ⟨ A , ·, +,', 0, 1⟩ es un álgebra de Boole .
El operador monádico / unario ∃ denota el cuantificador existencial , que satisface las identidades (usando la notación de prefijo recibida para ∃):
- ∃0 = 0
- ∃ x ≥ x
- ∃ ( x + y ) = ∃ x + ∃ y
- ∃ x ∃ y = ∃ ( x ∃ y ).
∃ x es el cierre existencial de x . Dual a ∃ es el operador unario ∀, el cuantificador universal , definido como ∀ x : = (∃ x ' )'.
Un álgebra booleana monádica tiene una definición y notación dual que toman ∀ como primitivo y ∃ como definido, de modo que ∃ x : = (∀ x ')'. (Compárese esto con la definición de la doble álgebra booleana.) Por lo tanto, con esta notación, un álgebra A tiene firma ⟨·, +, '0, 1, ∀⟩, con ⟨ A , ·, +,', 0, 1⟩ un álgebra de Boole, como antes. Además, ∀ satisface la siguiente versión dualizada de las identidades anteriores:
- ∀1 = 1
- ∀ x ≤ x
- ∀ ( xy ) = ∀ x ∀ y
- ∀ x + ∀ y = ∀ ( x + ∀ y ).
∀ x es el cierre universal de x .
Discusión
Las álgebras booleanas monádicas tienen una conexión importante con la topología . Si ∀ se interpreta como el operador interior de la topología, (1) - (3) arriba más el axioma ∀ (∀ x ) = ∀ x forman los axiomas para un álgebra interior . Pero ∀ (∀ x ) = ∀ x se puede demostrar a partir de (1) - (4). Además, una axiomatización alternativa de álgebras booleanas monádicas consiste en los axiomas (reinterpretados) para un álgebra interior , más ∀ (∀ x ) '= (∀ x )' (Halmos 1962: 22). Por lo tanto, las álgebras booleanas monádicas son las álgebras semisimples de interior / cierre de manera que:
- El cuantificador universal (dual, existencial) interpreta el operador interior ( cierre );
- Todos los elementos abiertos (o cerrados) también están cerrados .
Una axiomatización más concisa del álgebra booleana monádica es (1) y (2) arriba, más ∀ ( x ∨∀ y ) = ∀ x ∨∀ y (Halmos 1962: 21). Esta axiomatización oscurece la conexión con la topología.
Las álgebras booleanas monádicas forman una variedad . Son para la lógica de predicados monádicos lo que las álgebras de Boole son para la lógica proposicional y lo que son las álgebras poliadicas para la lógica de primer orden . Paul Halmos descubrió las álgebras booleanas monádicas mientras trabajaba en álgebras poliadicas; Halmos (1962) reimprime los artículos pertinentes. Halmos y Givant (1998) incluye un tratamiento de pregrado del álgebra booleana monádica.
Las álgebras booleanas monádicas también tienen una conexión importante con la lógica modal . La lógica modal S5 , vista como una teoría en S4 , es un modelo de álgebras booleanas monádicas de la misma manera que S4 es un modelo de álgebra interior. Asimismo, las álgebras booleanas monádicas proporcionan la semántica algebraica para S5 . Por tanto, S5-álgebra es sinónimo de álgebra booleana monádica.
Ver también
Referencias
- Paul Halmos , 1962. Lógica algebraica . Nueva York: Chelsea.
- ------ y Steven Givant, 1998. Lógica como álgebra . Asociación Matemática de América.