Luz de luna monstruosa

En matemáticas , la luz de la luna monstruosa , o teoría de la luz de la luna , es la conexión inesperada entre el grupo de monstruos M y las funciones modulares , en particular, la función j . El término fue acuñado por John Conway y Simon P. Norton en 1979.

Ahora se sabe que la monstruosa luz de la luna está sustentada por un álgebra de operador de vértice llamada módulo de luz de la luna (o álgebra de vértice del monstruo) construida por Igor Frenkel , James Lepowsky y Arne Meurman en 1988, que tiene el grupo de monstruos como su grupo de simetrías . Este álgebra de operadores de vértices se interpreta comúnmente como una estructura subyacente a una teoría de campo conforme bidimensional , lo que permite que la física forme un puente entre dos áreas matemáticas. Las conjeturas hechas por Conway y Norton fueron probadas por Richard Borcherds para el módulo de la luz de la luna en 1992 utilizando el teorema de no fantasma dela teoría de cuerdas y la teoría de álgebras de operadores de vértices y álgebras generalizadas de Kac-Moody .

En 1978, John McKay descubrió que los primeros términos en la expansión de Fourier del invariante J normalizado (secuencia A014708 en la OEIS ),

con y τ como la relación de medio período podría expresarse en términos de combinaciones lineales de las dimensiones de las representaciones irreducibles del grupo de monstruos M (secuencia A001379 en la OEIS ) con pequeños coeficientes no negativos. Sea = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... entonces, ${q}=e^{2\pi i\tau}$ $r_{n}$ $r_{n}$

(Dado que puede haber varias relaciones lineales entre tales como , la representación puede ser de más de una forma). McKay vio esto como evidencia de que existe una representación graduada de dimensión infinita natural de M , cuya dimensión graduada está dada por la coeficientes de J , y cuyas piezas de menor peso se descomponen en representaciones irreducibles como se indicó anteriormente. Después de informar a John G. Thompson de esta observación, Thompson sugirió que debido a que la dimensión graduada es solo la traza graduada del elemento de identidad , las trazas graduadas de los elementos no triviales g de M $r_{n}$ $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ sobre tal representación también puede ser interesante.

Conway y Norton calcularon los términos de orden inferior de tales trazas graduadas, ahora conocidas como series Tg de McKay-Thompson , y descubrieron que todas parecían ser expansiones de _Hauptmoduln . En otras palabras, si G _g es el subgrupo de SL ₂ ( R ) que fija T _g , entonces el cociente de la mitad superior del plano complejo por G _g es una esfera con un número finito de puntos quitados, y además, T _g genera el campo defunciones meromórficas en esta esfera.