En topología algebraica , los teoremas de coeficientes universales establecen relaciones entre grupos de homología (o grupos de cohomología) con coeficientes diferentes. Por ejemplo, para cada espacio topológico X , sus grupos de homología integral :
- H i ( X ; Z )
determinar completamente sus grupos de homología con coeficientes en A , para cualquier grupo abeliano A :
- H i ( X ; A )
Aquí H i podría ser la homología simplicial , o más generalmente la homología singular : el resultado en sí mismo es una pieza pura de álgebra homológica sobre complejos de cadenas de grupos abelianos libres . La forma del resultado es que se pueden usar otros coeficientes A , a costa de usar un funtor Tor .
Por ejemplo, es común tomar A como Z / 2 Z , de modo que los coeficientes son módulo 2. Esto resulta sencillo en ausencia de 2 torsión en la homología. Muy en general, el resultado indica la relación que se establece entre los números de Betti b i de X y los números de Betti b i , F con coeficientes en un campo F . Estos pueden diferir, pero solo cuando la característica de F es un número primo p para el cual hay alguna p- torsión en la homología.
Declaración del caso de homología
Considere el producto tensorial de módulos H i ( X ; Z ) ⊗ A . El teorema establece que hay una breve secuencia exacta que involucra al funtor de Tor
Además, esta secuencia se divide , aunque no de forma natural. Aquí μ es un mapa inducido por el mapa bilineal H i ( X ; Z ) × A → H i ( X ; A ) .
Si el coeficiente del anillo A es Z / p Z , este es un caso especial de la secuencia espectral de Bockstein .
Teorema del coeficiente universal para cohomología
Sea G un módulo sobre un dominio ideal principal R (por ejemplo, Z o un campo).
También hay un teorema del coeficiente universal para la cohomología que involucra al functor Ext , que afirma que hay una secuencia exacta corta natural
Como en el caso de la homología, la secuencia se divide, aunque no de forma natural.
De hecho, suponga
y definir:
Entonces h arriba es el mapa canónico:
Un punto de vista alternativo puede basarse en representar la cohomología a través del espacio de Eilenberg-MacLane donde el mapa h toma una clase de mapas de homotopía de X a K ( G , i ) al correspondiente homomorfismo inducido en homología. Por tanto, el espacio de Eilenberg-MacLane es un adjunto derecho débil al funtor de homología . [1]
Ejemplo: cohomología mod 2 del espacio proyectivo real
Sea X = P n ( R ) , el espacio proyectivo real . Calculamos la cohomología singular de X con coeficientes en R = Z / 2 Z .
Sabiendo que la homología entera viene dada por:
Tenemos Ext ( R , R ) = R , Ext ( Z , R ) = 0 , de modo que las secuencias exactas anteriores producen
De hecho, la estructura del anillo de cohomología total es
Corolarios
Un caso especial del teorema es el cálculo de la cohomología integral. Para un complejo CW finito X , H i ( X ; Z ) se genera finitamente, por lo que tenemos la siguiente descomposición .
donde β i ( X ) son los números Betti de X y es la parte de torsión de . Uno puede comprobar que
y
Esto da la siguiente declaración para la cohomología integral:
Para X una variedad n - orientable , cerrada y conectada , este corolario junto con la dualidad de Poincaré da que β i ( X ) = β n - i ( X ) .
Notas
- ↑ ( Kainen 1971 )
Referencias
- Allen Hatcher , Topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0 . Una introducción moderna y con sabor geométrico a la topología algebraica. El libro está disponible gratis en formatos PDF y PostScript en la página de inicio del autor .
- Kainen, PC (1971). "Functores adjuntos débiles". Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. doi : 10.1007 / bf01113560 . S2CID 122894881 .