En física , las ecuaciones de Navier-Stokes ( / n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / ) son ciertas ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas , nombradas en honor al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y Anglo- El físico y matemático irlandés George Gabriel Stokes . Se desarrollaron durante varias décadas de construcción progresiva de teorías, desde 1822 (Navier) hasta 1842-1850 (Stokes).
Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos . A veces van acompañadas de una ecuación de estado que relaciona la presión , la temperatura y la densidad . [1] Surgen de aplicar la segunda ley de Isaac Newton al movimiento de un fluido , junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso en difusión (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión , por lo que se describeflujo viscoso . La diferencia entre ellas y las ecuaciones de Euler estrechamente relacionadas es que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta la viscosidad, mientras que las ecuaciones de Euler modelan únicamente el flujo no viscoso . Como resultado, las Navier-Stokes son una ecuación parabólica y, por lo tanto, tienen mejores propiedades analíticas, a expensas de tener menos estructura matemática (por ejemplo, nunca son completamente integrables ).
Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles porque describen la física de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería . Pueden usarse para modelar el clima, las corrientes oceánicas , el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala . Las ecuaciones de Navier-Stokes, en su forma completa y simplificada, ayudan con el diseño de aviones y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo, el diseño de centrales eléctricas, el análisis de la contaminación y muchas otras cosas. Junto con las ecuaciones de Maxwell , se pueden utilizar para modelar y estudiar la magnetohidrodinámica .
Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés en un sentido puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, todavía no se ha demostrado si las soluciones suaves siempre existen en tres dimensiones, es decir, son infinitamente diferenciables (o incluso limitadas) en todos los puntos del dominio . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes . El Clay Mathematics Institute ha calificado a este como uno de los siete problemas abiertos más importantes en matemáticas y ha ofrecido un premio de un millón de dólares por una solución o un contraejemplo . [2] [3]
La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo . Es un campo vectorial : a cada punto de un fluido, en cualquier momento de un intervalo de tiempo, le da un vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad del fluido en ese punto en el espacio y en ese momento en el tiempo. Por lo general, se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo, aunque los casos bidimensionales (espaciales) y de estado estacionario se utilizan a menudo como modelos, y los análogos de dimensiones superiores se estudian tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez que se calcula el campo de velocidad, se pueden encontrar otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura , utilizando ecuaciones y relaciones dinámicas. Esto es diferente de lo que normalmente se ve enmecánica clásica , donde las soluciones son típicamente trayectorias de posición de una partícula o desviación de un continuo . Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque con fines de visualización se pueden calcular varias trayectorias . En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad de flujo, son las trayectorias por las que viajaría una partícula de fluido sin masa. Estos caminos son las curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un punto en el tiempo.
La ecuación de la cantidad de movimiento de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy , cuya forma convectiva general es