En matemáticas , la desigualdad de Noether , que lleva el nombre de Max Noether , es una propiedad de las superficies complejas mínimas compactas que restringe el tipo topológico de la 4-variedad topológica subyacente . Se mantiene más generalmente para superficies proyectivas mínimas de tipo general sobre un campo algebraicamente cerrado.
Formulación de la desigualdad
Sea X una superficie proyectiva mínima lisa de tipo general definida sobre un campo algebraicamente cerrado (o una superficie compleja compacta mínima lisa de tipo general) con divisor canónico K = - c 1 ( X ), y sea p g = h 0 ( K ) sea la dimensión del espacio de dos formas holomórficas, entonces
Para superficies complejas, una formulación alternativa expresa esta desigualdad en términos de invariantes topológicos de la variedad de cuatro orientada real subyacente. Dado que una superficie de tipo general es una superficie de Kähler , la dimensión del subespacio positivo máximo en forma de intersección en la segunda cohomología viene dada por b + = 1 + 2 p g . Además, según el teorema de la firma de Hirzebruch c 1 2 ( X ) = 2 e + 3 σ , donde e = c 2 ( X ) es la característica topológica de Euler y σ = b + - b - es la firma de la forma de intersección . Por lo tanto, la desigualdad de Noether también se puede expresar como
o equivalentemente usando e = 2 - 2 b 1 + b + + b -
Combinando la desigualdad de Noether con la fórmula de Noether 12χ = c 1 2 + c 2 da
donde q es la irregularidad de una superficie , lo que conduce a una desigualdad ligeramente más débil, que a menudo también se denomina desigualdad de Noether:
Las superficies donde se mantiene la igualdad (es decir, en la línea de Noether) se denominan superficies de Horikawa .
Boceto de prueba
De la condición de tipo general mínima se deduce que K 2 > 0. Por tanto, podemos suponer que p g > 1, ya que la desigualdad es automática de otro modo. En particular, podemos asumir que hay una divisor efectivo D representa K . Entonces tenemos una secuencia exacta
entonces
Suponga que D es suave. Por la fórmula adjunta, D tiene un paquete de líneas canónico, por lo tanto es un divisor especial y se aplica la desigualdad de Clifford , que da
En general, se aplica esencialmente el mismo argumento usando una versión más general de la desigualdad de Clifford para intersecciones locales completas con un paquete de líneas dualizadoras y secciones unidimensionales en el paquete de líneas trivial. Estas condiciones se satisfacen para la curva D por la fórmula adjunta y el hecho de que D está conectado numéricamente.
Referencias
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Liedtke, Christian (2008), "Superficies algebraicas de tipo general con c 1 2 pequeña en característica positiva" , Nagoya Math. J. , 191 : 111-134
- Noether, Max (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Matemáticas. Ana. , 8 (4): 495–533, doi : 10.1007 / BF02106598