En álgebra , un álgebra de Okubo o álgebra de pseudo-octonion es un álgebra no asociativa de 8 dimensiones similar a la estudiada por Susumu Okubo . [1] Las álgebras de Okubo son álgebras de composición , álgebras flexibles ( A ( BA ) = ( AB ) A ), álgebras de Lie admisibles y asociativas de potencia , pero no son asociativas, álgebras alternativas y no tienen un elemento de identidad.
El ejemplo de Okubo era el álgebra de 3-por-3 traza matrices complejas -Zero, con el producto de X y Y dado por AXy + BYX - Tr ( XY ) I / 3 donde I es la matriz identidad y un y b satisfacer un + b = 3 ab = 1. Los elementos hermitianos forman un álgebra de división no asociativa real de 8 dimensiones. Una construcción similar funciona para cualquier álgebra separable alternativa cúbica sobre un campo que contiene una raíz cúbica primitiva de la unidad. Un álgebra de Okubo es un álgebra construida de esta manera a partir de los elementos traza cero de un álgebra simple central de grado 3 sobre un campo. [2]
Construcción del álgebra de Para-Hurwitz
Las álgebras de composición unital se denominan álgebras de Hurwitz . [3] : 22 Si el campo básico K es el campo de los números reales y N es positivo-definido , entonces A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz .
Producto escalar
Si K tiene una característica diferente a 2, entonces una forma bilineal ( a , b ) =1/2[ N ( un + b ) - N ( un ) - N ( b )] se asocia con la forma cuadrática N .
Involución en álgebras de Hurwitz
Suponiendo que A tiene una unidad multiplicativa, defina la involución y los operadores de multiplicación de derecha e izquierda por
Evidentemente es una involución y conserva la forma cuadrática. La notación sobrelínea enfatiza el hecho de que la conjugación compleja y de cuaterniones son casos parciales de la misma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:
- La involución es un antiautomorfismo, es decir, a b = b a
- a a = N ( a ) 1 = a a
- L ( a ) = L ( a ) * , R ( a ) = R ( a ) * , donde * denota el operador adjunto con respecto a la forma (,)
- Re ( a b ) = Re ( b a ) donde Re x = ( x + x ) / 2 = ( x , 1)
- Re (( a b ) c ) = Re ( a ( b c ))
- L ( a 2 ) = L ( a ) 2 , R ( a 2 ) = R ( a ) 2 , de modo que A es un álgebra alternativa
Estas propiedades se prueban a partir de la versión polarizada de la identidad ( a b , a b ) = ( a , a ) ( b , b ) :
Configuración b = 1 o d = 1 los rendimientos de L ( un ) = L ( un ) * y R ( c ) = R ( c ) * . Por tanto, Re ( a b ) = ( a b , 1) = ( a , b ) = ( b a , 1) = Re ( b a ) . De manera similar ( a b , c ) = ( a b , c ) = ( b , a c ) = (1, b ( a c )) = (1, ( b a ) c ) = ( b a , c ) . Por tanto, Re ( a b ) c = (( a b ) c , 1) = ( a b , c ) = ( a , c b ) = ( a ( b c ), 1) = Re ( a ( b c )) . Por la identidad polarizada N ( a ) ( c , d ) = ( a c , a d ) = ( a a c , d ) entonces L ( a ) L ( a ) = N ( a ) . Aplicado a 1, se obtiene a a = N ( a ) . Reemplazar a por a da la otra identidad. Sustituyendo la fórmula por a en L ( a ) L ( a ) = L ( a a ) da L ( a ) 2 = L ( a 2 ) .
Álgebra de Para-Hurwitz
Otra operación ∗ puede definirse en un álgebra de Hurwitz como
- x ∗ y = x y
El álgebra ( A , ∗) es un álgebra de composición que no es generalmente unital, conocida como álgebra para-Hurwitz . [2] : 484 En las dimensiones 4 y 8, son álgebras para-cuaternión [4] y para-octonión . [3] : 40,41
Un álgebra para-Hurwitz satisface [3] : 48
Por el contrario, un álgebra con una forma bilineal simétrica no degenerada que satisfaga esta ecuación es un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudo-octonion de ocho dimensiones . [3] : 49 De manera similar, un álgebra flexible que satisface
es un álgebra de Hurwitz, un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudo-octonion de ocho dimensiones. [3]
Referencias
- ^ Susumu Okubo ( 1978 )
- ^ a b Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev , Markus Rost , Jean-Pierre Tignol (1998) "Composición y trialidad", capítulo 8 en El libro de las involuciones , págs. 451–511, Publicaciones del coloquio v 44, Sociedad matemática estadounidense ISBN 0 -8218-0904-0
- ^ a b c d e Okubo, Susumu (1995). Introducción al octonión y otras álgebras no asociativas en física . Montroll Memorial Lecture Series en Física Matemática. 2 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47215-6. Señor 1356224 . Zbl 0841.17001 .
- ^ El término "para-cuaterniones" se aplica a veces a álgebras no relacionadas.
- "Okubo_algebra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Okubo, Susumu (1978), "Álgebras de pseudo-cuaternión y pseudo-octonión", Hadronic Journal , 1 (4): 1250-1278, MR 0510100
- Susumu Okubo & J. Marshall Osborn (1981) "Álgebras con formas bilineales simétricas asociativas no degeneradas que permiten la composición", Communications in Algebra 9 (12): 1233–61, MR0618901 y 9 (20): 2015–73 MR0640611 .