Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-5 | |
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Vista de proyección en perspectiva desde el centro del modelo de disco de Poincaré | |
Tipo | Panal de abeja regular hiperbólico Panal uniforme de Paracompacto |
Símbolo de Schläfli | {6,3,5} |
Diagramas de Coxeter-Dynkin | ↔ |
Células | {6,3} |
Caras | hexágono {6} |
Figura de borde | pentágono {5} |
Figura de vértice | icosaedro |
Doble | Nido de abeja dodecaédrico Order-6 |
Grupo Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Regular |
En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de mosaico hexagonal de orden 5 surge como uno de los 11 panales paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda consta de un mosaico hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horósfera , un plano en el espacio hiperbólico que se acerca a un único punto ideal en el infinito.
El símbolo de Schläfli del panal de mosaico hexagonal de orden 5 es {6,3,5}. Dado que el del mosaico hexagonal es {6,3}, este panal tiene cinco mosaicos hexagonales de este tipo que se unen en cada borde. Dado que el símbolo de Schläfli del icosaedro es {3,5}, la figura del vértice de este panal es un icosaedro. Así, 20 mosaicos hexagonales se encuentran en cada vértice de este panal. [1]
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Simetría
Existe una construcción de menor simetría de índice 120, [6, (3,5) * ], con dominios fundamentales dodecaédricos regulares y un diagrama de Coxeter-Dynkin icosaédrico con 6 ramas axiales de orden infinito (ultraparalelas).
Imagenes
El panal de mosaico hexagonal de orden 5 es similar al mosaico apeirogonal paracompacto regular hiperbólico 2D de orden 5 , {∞, 5}, con cinco caras apeirogonales que se encuentran alrededor de cada vértice.
Politopos y panales relacionados
El panal de mosaico hexagonal de orden 5 es un panal hiperbólico regular en 3 espacios, y uno de los 11 que son paracompactos.
11 panales regulares paracompactos | |||||||||||
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{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
Hay 15 panales uniformes en la familia del grupo [6,3,5] Coxeter , incluida esta forma regular y su dual regular, el panal dodecaédrico de orden 6 .
{6,3,5} | r {6,3,5} | t {6,3,5} | rr {6,3,5} | t 0,3 {6,3,5} | tr {6,3,5} | t 0,1,3 {6,3,5} | t 0,1,2,3 {6,3,5} |
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{5,3,6} | r {5,3,6} | t {5,3,6} | rr {5,3,6} | 2t {5,3,6} | tr {5,3,6} | t 0,1,3 {5,3,6} | t 0,1,2,3 {5,3,6} |
El panal de mosaico hexagonal de orden 5 tiene un panal de alternancia relacionado , representado por ↔ , con icosaedro y celdas de mosaico triangular .
Es parte de la secuencia de panales hiperbólicos regulares de la forma {6,3, p}, con facetas de mosaico hexagonales :
{6,3, p} panales | |||||||||||
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Espacio | H 3 | ||||||||||
Formulario | Paracompacto | No compacto | |||||||||
Nombre | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3, ∞} | ||||
Coxeter | |||||||||||
Imagen | |||||||||||
Figura de vértice {3, p} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
También es parte de una secuencia de policoras regulares y panales con figuras de vértices icosaédricos :
{p, 3,5} politopos | |||||||
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Espacio | S 3 | H 3 | |||||
Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {3,3,5} | {4,3,5} | {5,3,5} | {6,3,5} | {7,3,5} | {8,3,5} | ... {∞, 3,5} |
Imagen | |||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Nido de abeja hexagonal rectificado order-5
Nido de abeja hexagonal rectificado order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | r {6,3,5} o t 1 {6,3,5} |
Diagramas de Coxeter | ↔ |
Células | {3,5} r {6,3} o H 2 {6,3} |
Caras | triángulo {3} hexágono {6} |
Figura de vértice | prisma pentagonal |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal rectificado de orden 5 , t 1 {6,3,5},tiene facetas de mosaico de icosaedro y trihexagonal , con una figura de vértice de prisma pentagonal .
Es similar al mosaico cuadrado hiperbólico 2D de orden infinito , r {∞, 5} con caras pentágono y apeirogonal. Todos los vértices están en la superficie ideal.
Espacio | S 3 | H 3 | ||||
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Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||
Nombre | r {3,3,5} | r {4,3,5} | r {5,3,5} | r {6,3,5} | r {7,3,5} | ... r {∞, 3,5} |
Imagen | ||||||
Células {3,5} | r {3,3} | r {4,3} | r {5,3} | r {6,3} | r {7,3} | r {∞, 3} |
Nido de abeja hexagonal truncada orden-5
Nido de abeja hexagonal truncada orden-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t {6,3,5} o t 0,1 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | {3,5} t {6,3} |
Caras | triángulo {3} dodecágono {12} |
Figura de vértice | pirámide pentagonal |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal truncado de orden 5 , t 0,1 {6,3,5},tiene icosaedro y facetas de mosaico hexagonales truncadas , con una figura de vértice piramidal pentagonal .
Nido de abeja hexagonal Bitruncated order-5
Nido de abeja hexagonal Bitruncated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | 2t {6,3,5} o t 1,2 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | t {3,6} t {3,5} |
Caras | pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | disphenoid digonal |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal bitruncado de orden 5 , t 1,2 {6,3,5},tiene alicatado hexagonal y facetas de icosaedro truncado , con una figura de vértice disfenoide digonal .
Nido de abeja hexagonal cantellated order-5
Nido de abeja hexagonal cantellated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | rr {6,3,5} o t 0,2 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | r {3,5} rr {6,3} {} x {5} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | cuña |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales de orden 5 cantelado , t 0,2 {6,3,5},tiene facetas de icosidodecaedro , rombitrihexagonal y prisma pentagonal , con una figura de vértice en cuña .
Nido de abeja hexagonal cantitruncated order-5
Nido de abeja hexagonal cantitruncated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | tr {6,3,5} o t 0,1,2 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {3,5} tr {6,3} {} x {5} |
Caras | cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} dodecágono {12} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales cantitruncado de orden 5 , t 0,1,2 {6,3,5},tiene un icosaedro truncado , un mosaico trihexagonal truncado y facetas de prisma pentagonal , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Nido de abeja hexagonal runcinated order-5
Nido de abeja hexagonal runcinated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,3 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | {6,3} {5,3} {} x {6} {} x {5} |
Caras | cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | antiprisma triangular irregular |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales runcinated order-5 , t 0,3 {6,3,5},Tiene facetas de dodecaedro , mosaico hexagonal , prisma pentagonal y prisma hexagonal , con una figura de vértice antiprisma triangular irregular .
Nido de abeja hexagonal Runcitruncated order-5
Nido de abeja hexagonal Runcitruncated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {6,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {12} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} dodecágono {12} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja hexagonal runcitruncated order-5 , t 0,1,3 {6,3,5},tiene celdas de mosaico hexagonal truncado , rombicosidodecaedro , prisma pentagonal y prisma dodecagonal , con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Nido de abeja hexagonal Runcicantellated order-5
El panal de mosaico hexagonal runcicantellated orden-5 es el mismo que el panal dodecaédrico runcitruncado orden-6 .
Nido de abeja hexagonal omnitruncated order-5
Nido de abeja hexagonal omnitruncated order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {6,3} tr {5,3} {} x {10} {} x {12} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} decágono {10} dodecágono {12} |
Figura de vértice | tetraedro irregular |
Grupos de Coxeter | , [5,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal omnitruncado de orden 5 , t 0,1,2,3 {6,3,5},Tiene baldosas truncadas truncadas , icosidodecaedro truncado , prisma decagonal y facetas de prisma dodecagonal , con una figura de vértice tetraédrico irregular .
Nido de abeja hexagonal de orden alternativo 5
Nido de abeja hexagonal de orden alternativo 5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto Nido de abeja semirregular |
Símbolo de Schläfli | h {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {3 [3] } {3,5} |
Caras | triángulo {3} |
Figura de vértice | icosaedro truncado |
Grupos de Coxeter | , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo, cuasirregular |
El panal de mosaico hexagonal de orden 5 alternado , h {6,3,5}, ↔ , tiene alicatado triangular y facetas de icosaedro , con una figura de vértice de icosaedro truncado . Es un panal cuasirregular .
Nido de abeja hexagonal cantic order-5
Nido de abeja hexagonal cantic order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 2 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | h 2 {6,3} t {3,5} r {5,3} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | prisma triangular |
Grupos de Coxeter | , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal de orden cantic-5 , h 2 {6,3,5}, ↔ , tiene alicatado trihexagonal , facetas de icosaedro truncado e icosidodecaedro , con una figura de vértice de prisma triangular .
Nido de abeja de baldosas hexagonales runcic order-5
Nido de abeja de baldosas hexagonales runcic order-5 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 3 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {3 [3] } rr {5,3} {5,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} |
Figura de vértice | cúpula triangular |
Grupos de Coxeter | , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales de orden rúnico-5 , h 3 {6,3,5}, ↔ , tiene facetas de mosaico triangular , rombicosidodecaedro , dodecaedro y prisma triangular , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Runcicantic order-5 baldosas hexagonales en forma de panal
Runcicantic order-5 baldosas hexagonales en forma de panal | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 2,3 {6,3,5} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | h 2 {6,3} tr {5,3} t {5,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} decágono {10} |
Figura de vértice | rectangular, pirámide |
Grupos de Coxeter | , [5,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja hexagonal de orden-5 runcicantic , h 2,3 {6,3,5}, ↔ , tiene alicatado trihexagonal , icosidodecaedro truncado , dodecaedro truncado y facetas de prisma triangular , con una figura de vértice piramidal rectangular .
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Panales uniformes paracompactos
Referencias
- ^ Coxeter La belleza de la geometría , 1999, Capítulo 10, Tabla III
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- La belleza de la geometría: Doce ensayos (1999), Publicaciones de Dover, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico ) Tabla III
- Jeffrey R. Weeks La forma del espacio, 2a ediciónISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías en tres colectores I, II)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico