En álgebra abstracta , un anillo parcialmente ordenado es un anillo ( A , +, · ), junto con un orden parcial compatible , es decir, un orden parcial en el conjunto subyacente A que es compatible con las operaciones de anillo en el sentido de que satisface:
- implica
y
- y implica que
para todos . [1] Existen varias extensiones de esta definición que restringen el anillo, el orden parcial o ambos. Por ejemplo, un anillo de Arquímedes parcialmente ordenado es un anillo parcialmente ordenado dónde El grupo aditivo parcialmente ordenado es Arquímedes . [2]
Un anillo ordenado , también llamado anillo totalmente ordenado , es un anillo parcialmente ordenado. dónde es además un pedido total . [1] [2]
Un anillo en L , o anillo ordenado en celosía , es un anillo parcialmente ordenado dónde es además una orden de celosía .
Propiedades
El grupo aditivo de un anillo parcialmente ordenado es siempre un grupo parcialmente ordenado .
El conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado (el conjunto de elementos x para los cuales, también llamado cono positivo del anillo) se cierra bajo adición y multiplicación, es decir, si P es el conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado, entonces y . Además,.
El mapeo del orden parcial compatible en un anillo A con el conjunto de sus elementos no negativos es uno a uno ; [1] es decir, el orden parcial compatible determina de forma única el conjunto de elementos no negativos, y un conjunto de elementos determina de forma única el orden parcial compatible, si existe.
Si S es un subconjunto de un anillo A , y:
entonces la relación dónde si define un orden parcial compatible en A ( es decir. es un anillo parcialmente ordenado). [2]
En cualquier anillo en L, el valor absoluto de un elemento x se puede definir como, dónde denota el elemento máximo . Para cualquier x y y ,
sostiene. [3]
anillos en F
Un anillo F , o anillo Pierce-Birkhoff , es un anillo ordenado en celosía en el cual [4] y implica que para todos . Fueron introducidos por primera vez por Garrett Birkhoff y Richard S. Pierce en 1956, en un artículo titulado "Anillos ordenados en celosía", en un intento de restringir la clase de anillos en L para eliminar una serie de ejemplos patológicos. Por ejemplo, Birkhoff y Pierce demostraron un anillo en L con 1 en el que 1 es negativo, aunque sea un cuadrado. [2] La hipótesis adicional requerida de los anillos f elimina esta posibilidad.
Ejemplo
Sea X un espacio de Hausdorff , yser el espacio de todos continuas , reales -valued funciones en X . es un anillo F de Arquímedes con 1 debajo de las siguientes operaciones puntuales:
Desde un punto de vista algebraico, los anillos son bastante rígidos. Por ejemplo, localizaciones , anillos de residuos o límites de anillos de la formano son de esta forma en general. Una clase de anillos f mucho más flexible que contiene todos los anillos de funciones continuas y que se asemeja a muchas de las propiedades de estos anillos, es la clase de anillos cerrados reales .
Propiedades
- Un producto directo de los anillos f es un anillo f, un subanillo l de un anillo f es un anillo f y una imagen homomórfica l de un anillo f es un anillo f. [3]
- en un f-ring. [3]
- La categoría Arf consta de los anillos f de Arquímedes con 1 y los homomorfismos l que conservan la identidad. [5]
- Cada anillo ordenado es un anillo F, por lo que cada unión subdirecta de anillos ordenados es también un anillo F. Suponiendo el axioma de elección , un teorema de Birkhoff muestra lo contrario, y que un anillo l es un anillo f si y solo si es l-isomorfo a una unión subdirecta de anillos ordenados. [2] Algunos matemáticos consideran que esta es la definición de un anillo f. [3]
Resultados formalmente verificados para anillos conmutativos ordenados
IsarMathLib , una biblioteca para el demostrador del teorema de Isabelle , tiene verificaciones formales de algunos resultados fundamentales en anillos ordenados conmutativos . Los resultados se prueban en el contexto ring1 . [6]
Suponer es un anillo ordenado conmutativo, y . Luego:
por | |
---|---|
El grupo aditivo de A es un grupo ordenado | OrdRing_ZF_1_L4 |
si | OrdRing_ZF_1_L7 |
y implicar y | OrdRing_ZF_1_L9 |
ordring_one_is_nonneg | |
OrdRing_ZF_2_L5 | |
ord_ring_triangle_ineq | |
x está en el conjunto positivo, igual a 0, o en menos el conjunto positivo. | OrdRing_ZF_3_L2 |
El conjunto de elementos positivos de se cierra bajo multiplicación si A no tiene divisores de cero . | OrdRing_ZF_3_L3 |
Si A no es trivial (), entonces es infinito. | ord_ring_infinite |
Referencias
- ^ a b c Anderson, FW "Anillos de cocientes ordenados en celosía". Revista Canadiense de Matemáticas . 17 : 434–448. doi : 10.4153 / cjm-1965-044-7 .
- ^ a b c d e f Johnson, DG (diciembre de 1960). "Una teoría de la estructura para una clase de anillos ordenados en celosía" . Acta Mathematica . 104 (3–4): 163–215. doi : 10.1007 / BF02546389 .
- ^ a b c d Henriksen, Melvin (1997). "Una encuesta de f-rings y algunas de sus generalizaciones". En W. Charles Holland y Jorge Martinez (ed.). Estructuras algebraicas ordenadas: Actas de la conferencia de Curazao patrocinada por la Fundación de Matemáticas del Caribe, 23 al 30 de junio de 1995 . Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. págs. 1–26. ISBN 0-7923-4377-8.
- ^ denota infimum .
- ^ Hager, Anthony W .; Jorge Martínez (2002). "Anillos functoriales de cocientes — III: El máximo en anillos f de Arquímedes". Revista de álgebra pura y aplicada . 169 : 51–69. doi : 10.1016 / S0022-4049 (01) 00060-3 .
- ^ "IsarMathLib" (PDF) . Consultado el 31 de marzo de 2009 .
Otras lecturas
- Birkhoff, G .; R. Pierce (1956). "Anillos ordenados en celosía". Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 : 41–69.
- Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Anillos de funciones continuas. Reimpresión de la edición de 1960. Textos de posgrado en matemáticas, núm. 43. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1976. xiii + 300 págs.
enlaces externos
- "Anillo ordenado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Anillo parcialmente ordenado en PlanetMath .