En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos y de un grupo se conjugan si hay un elemento en el grupo tal que Ésta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .
Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando solo la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. [1] [2] Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).
Las funciones que son constantes para miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .
Definición
Dejar ser un grupo. Dos elementosson conjugados , si existe un elemento tal que en ese caso se llama conjugado de y se llama conjugado de
En el caso del grupo grupo lineal general de matrices invertibles , la relación de conjugación se llama similitud de matriz .
Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, particiones en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases y son iguales si y solo si y son conjugadas y disjuntas en caso contrario.) La clase de equivalencia que contiene el elemento es
Se puede hacer referencia a las clases conjugadas describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "una cierta clase de conjugación de elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente de elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico se pueden describir por estructura de ciclo.
Ejemplos de
El grupo simétrico que consta de las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación:
- ningún cambio
- transponiendo dos
- una permutación cíclica de los tres
Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .
El grupo simétrico que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con sus estructuras y órdenes de ciclo:
- (1) 4 sin cambios (1 elemento: {(1, 2, 3, 4)}). La única fila que contiene esta clase de conjugación se muestra como una fila de círculos negros en la tabla adyacente.
- (2) intercambiando dos (6 elementos: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en verde en la tabla adyacente.
- (3) una permutación cíclica de tres (8 elementos: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). Las 8 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con letra normal (sin negrita ni resaltado en color) en la tabla adyacente.
- (4) una permutación cíclica de los cuatro (6 elementos: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2 , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). Las 6 filas que contienen esta clase de conjugación están resaltadas en naranja en la tabla adyacente.
- (2) (2) intercambiando dos, y también los otros dos (3 elementos: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}) . Las 3 filas que contienen esta clase de conjugación se muestran con entradas en negrita en la tabla adyacente.
Las rotaciones adecuadas del cubo , que se pueden caracterizar por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen mediante la conjugación en
En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétricoes igual al número de particiones enteras de Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de en ciclos , hasta la permutación de los elementos de
En general, el grupo euclidiano se puede estudiar mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .
Propiedades
- El elemento de identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir
- Si es abeliano , entonces para todos ; entonces para todos
- Si dos elementos pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugados), entonces tienen el mismo orden . De manera más general, cada declaración sobre puede traducirse en una declaración sobre porque el mapa es un automorfismo de Consulte la siguiente propiedad para ver un ejemplo.
- Si y son conjugados, entonces también lo son sus poderes y (Prueba: si luego ) Tomando así Los poderes dan un mapa de clases de conjugación, y uno puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3) (2) (un ciclo de 3 y un ciclo de 2) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de encendido de (3) es la clase (3) (2) (donde es una clase de power-up de ).
- Un elemento yace en el centro de si y solo si su clase de conjugación tiene solo un elemento, sí mismo. De manera más general, sidenota el centralizador dees decir, el subgrupo que consta de todos los elementos tal que luego el índice es igual al número de elementos en la clase de conjugación de (por el teorema del estabilizador de órbita ).
- Llevar y deja ser los enteros distintos que aparecen como longitudes de ciclos en el tipo de ciclo de (incluidos 1 ciclos). Dejar ser el número de ciclos de duración en para cada (así que eso ). Entonces el número de conjugados dees: [1]
Conjugado como acción grupal
Para dos elementos cualesquiera dejar
Del mismo modo, podemos definir una acción de grupo de en el conjunto de todos los subconjuntos de escribiendo
Ecuación de clase conjugada
Si es un grupo finito , entonces para cualquier elemento del grupo los elementos de la clase de conjugación de están en correspondencia uno a uno con las clases laterales del centralizador Esto se puede ver observando que dos elementos cualesquiera y pertenecientes a la misma clase lateral (y por tanto, para algunos en el centralizador ) dan lugar al mismo elemento al conjugar :
Así, el número de elementos en la clase de conjugación de es el índice del centralizador en ; por tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo.
Además, si elegimos un único elemento representativo de cada clase de conjugación, inferimos de la disyunción de las clases de conjugación que dónde es el centralizador del elemento Observando que cada elemento del centro forma una clase de conjugación que contiene solo a sí misma da lugar a la ecuación de clase : [4]
Conocimiento de los divisores del orden de grupo. a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación.
Ejemplo
Considere un finito pag {\ Displaystyle p} -grupo (es decir, un grupo con orden dónde es un número primo y). Vamos a demostrar que cada finito-grupo tiene un centro no trivial .
Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de debe dividir el orden de se deduce que cada clase de conjugación que no está en el centro también tiene orden algún poder de dónde Pero entonces la ecuación de clase requiere que De esto vemos que debe dividir entonces
En particular, cuando luego es un grupo abeliano ya que si es cualquier elemento del grupo entonces es de orden o Si es de orden luego es isomorfo al grupo cíclico de orden de ahí abeliano. Por otro lado, si algún elemento no trivial en es de orden por lo tanto, por la conclusión anterior luego o Solo necesitamos considerar el caso cuando entonces hay un elemento de que no está en el centro de Tenga en cuenta que es de orden entonces el subgrupo de generado por contiene elementos y, por lo tanto, es un subconjunto adecuado de porque incluye todos los elementos de este subgrupo y el centro que no contiene pero al menos elementos. De ahí el orden de es estrictamente mayor que por lo tanto por lo tanto es un elemento del centro de Por eso es abeliano y de hecho isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos cada uno de orden
Conjugado de subgrupos y subconjuntos generales
De manera más general, dado cualquier subconjunto ( no necesariamente un subgrupo), defina un subconjunto ser conjugado a si existe alguna tal que Dejar ser el conjunto de todos los subconjuntos tal que es conjugado a
Un teorema de uso frecuente es que, dado cualquier subconjunto el índice de(el normalizador de) en es igual al orden de :
Esto se sigue ya que, si luego si y solo si en otras palabras, si y solo si están en la misma clase lateral de
Mediante el uso esta fórmula generaliza la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación.
Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de Por tanto, los subgrupos pueden dividirse en clases de conjugación, con dos subgrupos pertenecientes a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que son isomorfos, pero nunca se conjugan.
Interpretación geométrica
Las clases conjugadas en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado por caminos se pueden considerar como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.
Clase conjugada y representaciones irreductibles en grupo finito
En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreductibles distintas (no isomórficas) sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.
Ver también
- Conjugación topológica
- FC-group - grupo en matemáticas de teoría de grupos
- Subgrupo cerrado conjugado
Notas
- ^ a b Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
- ^ Grillet (2007), p. 56
- ^ Grillet (2007), p. 57
Referencias
- Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. 242 (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-71567-4.
enlaces externos
- "Elementos conjugados" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]