En matemáticas , un p función -adic zeta , o más generalmente un p -adic L -Función , es una función análoga a la función zeta de Riemann , o más generales L -Funciones , pero cuyo dominio y de destino son p-adic (donde p es un número primo ). Por ejemplo, el dominio podría ser el p números enteros -adic Z p , un profinito p -group , o una p familia -adic de representaciones de Galois, y la imagen podrían ser los números p -ádicos Q p o su cierre algebraico .
La fuente de una función L p -ádica tiende a ser de dos tipos. La primera fuente —de la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p -ádica ( Kubota & Leopoldt 1964 ) - es a través de la interpolación p -ádica de valores especiales de funciones L- . Por ejemplo, Kubota-Leopoldt usó las congruencias de Kummer para números de Bernoulli para construir una función L p -ádica , la función zeta p -ádica de Riemann ζ p ( s ), cuyos valores en enteros impares negativos son los de la función zeta de Riemann en números negativos enteros impares (hasta un factor de corrección explícito). p -adic L -Funciones que surgen de esta manera se refieren típicamente como analítica p -adic L -Funciones . La otra fuente importante de funciones p -ádicas L , descubierta por primera vez por Kenkichi Iwasawa, proviene de la aritmética de campos ciclotómicos , o más generalmente, ciertos módulos de Galois sobre torres de campos ciclotómicos o incluso torres más generales. Un p -adic L -función que surge de esta manera se suele llamar una aritmética p -adic L -función ya que codifica los datos aritméticos del módulo de Galois involucrados. La principal conjetura de la teoría de Iwasawa (ahora un teorema debido a Barry Mazur y Andrew Wiles ) es la afirmación de que la función L de Kubota-Leopoldt p -ádico y un análogo aritmético construido por la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde se construyen (o se esperan) funciones p -ádicas L tanto analíticas como aritméticas , el enunciado de que están de acuerdo se llama la conjetura principal de la teoría de Iwasawa para esa situación. Tales conjeturas representan declaraciones formales relativas a la filosofía de que los valores especiales de las funciones L contienen información aritmética.
Funciones L de Dirichlet
La función L de Dirichlet está dada por la continuación analítica de
La función L de Dirichlet en números enteros negativos está dada por
donde B n , χ es un número de Bernoulli generalizado definido por
para χ un carácter de Dirichlet con conductor f .
Definición mediante interpolación
El Kubota-Leopoldt p -adic L -Función L p ( s , χ) interpola la Dirichlet L -Función con el factor de Euler en p eliminado. Más precisamente, L p ( s , χ) es la función continua única del número p -ádico s tal que
para enteros positivos n divisibles por p - 1. El lado derecho es simplemente la función L de Dirichlet habitual , excepto que se elimina el factor de Euler en p , de lo contrario no sería p -adicamente continuo. La continuidad del lado derecho está estrechamente relacionada con las congruencias de Kummer .
Cuando n no es divisible por p - 1, esto generalmente no se cumple; en lugar de
para enteros positivos n . Aquí χ está retorcido por un poder del carácter de Teichmüller ω.
Visto como una medida p -ádica
Las funciones L p -ádicas también se pueden considerar como medidas p -ádicas (o distribuciones p -ádicas ) en grupos p -profinitos de Galois. La traducción entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota-Leopoldt (como funciones valoradas por Q p en Z p ) se realiza a través de la transformada de Mazur-Mellin (y la teoría de campos de clases ).
Campos totalmente reales
Deligne y Ribet (1980) , basándose en trabajos previos de Serre (1973) , construyeron funciones L analíticas p -ádicas para campos totalmente reales. Independientemente, Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus enfoques siguieron el enfoque de Takuro Shintani para el estudio de los valores L.
Referencias
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