En matemáticas , una función zeta p -ádica , o más generalmente una función L p -ádica , es una función análoga a la función zeta de Riemann , o funciones L más generales , pero cuyo dominio y objetivo son p-ádicas (donde p es un número primo ). Por ejemplo, el dominio podría ser los enteros p -ádicos Z p , un p -grupo profinito o una familia p -ádica de representaciones de Galois, y la imagen podría ser los números p -ádicos Q p o su cierre algebraico .
La fuente de una función L p -ádica tiende a ser de dos tipos. La primera fuente, a partir de la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p -ádica ( Kubota & Leopoldt 1964 ), es a través de la interpolación p -ádica de valores especiales de funciones L. Por ejemplo, Kubota–Leopoldt usó las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función p -ádica L , la función p -ádica de Riemann zeta ζ p( s ), cuyos valores en enteros impares negativos son los de la función zeta de Riemann en enteros impares negativos (hasta un factor de corrección explícito). Las funciones L p -ádicas que surgen de esta manera se denominan funciones L analíticas p -ádicas . La otra fuente importante de funciones p -ádicas L , descubierta por primera vez por Kenkichi Iwasawa , proviene de la aritmética de los campos ciclotómicos , o más generalmente, ciertos módulos de Galois sobre torres de campos ciclotómicos o incluso torres más generales. A p -ádica LLa función que surge de esta manera se denomina típicamente función aritmética p -ádica L , ya que codifica datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La conjetura principal de la teoría de Iwasawa (ahora un teorema debido a Barry Mazur y Andrew Wiles ) es la afirmación de que la función L -ádica de Kubota-Leopoldt y un análogo aritmético construido por la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde tanto la analítica como la aritmética p -adic L-Se construyen (o se esperan) funciones, el enunciado de que concuerdan se denomina conjetura principal de la teoría de Iwasawa para esa situación. Tales conjeturas representan declaraciones formales sobre la filosofía de que los valores especiales de las funciones L contienen información aritmética.
La función L p -ádica de Kubota–Leopoldt L p ( s , χ) interpola la función L de Dirichlet con el factor de Euler en p eliminado. Más precisamente, L p ( s , χ) es la única función continua del número p -ádico s tal que
para enteros positivos n divisibles por p − 1. El lado derecho es simplemente la función L de Dirichlet habitual , excepto que se elimina el factor de Euler en p , de lo contrario, no sería p -adicamente continua. La continuidad del lado derecho está estrechamente relacionada con las congruencias de Kummer .
Las funciones L p -ádicas también se pueden considerar como medidas p -ádicas (o distribuciones p -ádicas ) en grupos p -profinitos de Galois. La traducción entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota-Leopoldt (como funciones con valores de Q p en Z p ) es a través de la transformada de Mazur-Mellin (y la teoría del campo de clases ).
Deligne y Ribet (1980) , basándose en trabajos previos de Serre (1973) , construyeron funciones L analíticas p -ádicas para campos totalmente reales. Independientemente, Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus enfoques siguieron el enfoque de Takuro Shintani para el estudio de los valores L.