Parametrix

En matemáticas , y específicamente en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales (PDE), un parametrix es una aproximación a una solución fundamental de un PDE, y es esencialmente una inversa aproximada de un operador diferencial.

Un parametrix para un operador diferencial es a menudo más fácil de construir que una solución fundamental, y para muchos propósitos es casi tan bueno. A veces es posible construir una solución fundamental a partir de una parametrix mejorando iterativamente.

Descripción general y definición informal

Es útil revisar cuál es una solución fundamental para un operador diferencial $P (D)$ con coeficientes constantes: es una distribución $u$ en ℝ ⁿ tal que

{\ Displaystyle P (D) {u (x)} = \ delta (x) ~,}

en el sentido débil , donde $δ$ es la distribución delta de Dirac .

De manera similar, un parámetro para un operador diferencial de coeficiente variable $P (x, D)$ es una distribución $u$ tal que

{\ Displaystyle P (x, D) {u (x)} = \ delta (x) + \ omega (x) ~,}

donde $ω$ es alguna función $C \infty$ con soporte compacto.

La parametriz es un concepto útil en el estudio de operadores diferenciales elípticos y, más en general, de operadores pseudodiferenciales hipoelípticos con coeficiente variable, ya que para tales operadores sobre dominios apropiados se puede demostrar que existe una parametriz, puede construirse con cierta facilidad ^[1] y ser una función suave lejos del origen. ^[2]

Habiendo encontrado la expresión analítica de la parametriz, es posible calcular la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica bastante general asociada resolviendo una ecuación integral de Fredholm asociada : además, la estructura misma de la parametriz revela propiedades de la solución del problema sin incluso calculándolo, como su suavidad ^[3] y otras propiedades cualitativas.

Parametrices para operadores pseudodiferenciales

De manera más general, si $L$ es cualquier operador pseudodiferencial de orden $p$ , entonces otro operador pseudodiferencial $L +$ de orden $-p$ se llama parametrix para $L$ si los operadores

{\ Displaystyle L \ circ L ^ {+} - I, \ quad L ^ {+} \ circ LI}

son ambos operadores pseudodiferenciales de orden negativo. Los operadores $L$ y $L +$ admitirán extensiones continuas de mapas entre los espacios de Sobolev $H s$ y $H s + k$ .

En un colector compacto, las diferencias anteriores son operadores compactos . En este caso, el operador original $L$ define un operador de Fredholm entre los espacios de Sobolev. ^[4]

Construcción de Hadamard parametrix

Jacques Hadamard descubrió una construcción explícita de una paramétrica para operadores diferenciales parciales de segundo orden basada en desarrollos de series de potencia . Se puede aplicar al operador de Laplace , la ecuación de onda y la ecuación de calor .

En el caso de la ecuación de calor o la ecuación de onda, donde existe un parámetro de tiempo distinguido $t$ , el método de Hadamard consiste en tomar la solución fundamental del operador diferencial de coeficiente constante obtenido congelando los coeficientes en un punto fijo y buscando una solución general como un producto de esta solución, a medida que varía el punto, por una serie de potencias formales en $t$ . El término constante es 1 y los coeficientes más altos son funciones determinadas recursivamente como integrales en una sola variable.

En general, la serie de potencias no convergerá, sino que proporcionará solo una expansión asintótica de la solución exacta. Un truncamiento adecuado de la serie de potencia produce entonces un parametrix. ^[5]^[6]

Construcción de una solución fundamental a partir de un parametrix

A menudo se puede utilizar una parametriz suficientemente buena para construir una solución fundamental exacta mediante un procedimiento iterativo convergente como se indica a continuación ( Berger, Gauduchon y Mazet 1971 ).

Si $L$ es un elemento de un anillo con multiplicación * tal que

{\ Displaystyle L * P = 1 + R}

para una $P$ inversa aproximada a la derecha y un término restante $R$ "suficientemente pequeño" , entonces, al menos formalmente,

{\ Displaystyle L * P * (1-R + R * RR * R * R + \ cdots) = 1}

entonces, si la serie infinita tiene sentido, entonces $L$ tiene una inversa derecha

P-P*R+P*R*R-P*R*R*R+\cdots

.

Si $L$ es un operador pseudo-diferencial y $P$ es un parametrix, esto da una inversa derecha a $L$ , en otras palabras, una solución fundamental, siempre que $R$ sea "lo suficientemente pequeño", lo que en la práctica significa que debería ser un operador de suavizado suficientemente bueno. .

Si $P$ y $R$ están representados por funciones, a continuación, la multiplicación * de seudo-diferencial operadores corresponde a la convolución de las funciones, por lo que los términos de la suma infinita dando la solución fundamental de $L$ implican convolución de $P$ con copias de $R$ .

Notas

^ Mediante el uso de hechos conocidos sobre la solución fundamental de operadores diferenciales de coeficientes constantes.
^ Hörmander 1983 , p. 170
^ Consulte la entrada sobre el problema de regularidad para operadores diferenciales parciales .
^ Hörmander 1985
^ Hörmander 1985 , págs. 30–41
↑ Hadamard, 1932

Referencias

Bejancu, A. (2001) [1994], "Método Parametrix" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Berger, Marcel ; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le spectre d'une variété riemannienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 194 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. VII, 251, doi : 10.1007 / BFb0064643 , ISBN 978-3-540-05437-5, MR 0282313 , Zbl 0.223,53034
Hadamard, Jacques (2003) [1923], Conferencias sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales , ediciones Dover Phoenix, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04 , MR 0.051.411 , Zbl 0.049,34805
Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (en francés), París: Herman, JFM 58.0519.16 , Zbl 0006.20501.
Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 , Heidelberg - Berlín - Nueva York: Springer Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 , Zbl 0.521,35001.
Hörmander, L. (1985), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales III , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 274 , Heidelberg - Berlín - Nueva York: Springer Verlag , ISBN 3-540-13828-5, MR 0781536 , Zbl 0.601,35001.
Levi, Eugenio Elia (1907), "Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche", Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche, Naturali , Serie V, 16 (12): 932-938, JFM 38.0403. 01(en italiano ).
Levi, Eugenio Elia (1907), "Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 24 (1): 275–317, doi : 10.1007 / BF03015067 , JFM 38.0402.01 , S2CID 121688042(en italiano ).
Wells, Jr., RO (1986), Análisis diferencial en colectores complejos , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90419-1

[1] Mediante el uso de hechos conocidos sobre la solución fundamental de operadores diferenciales de coeficientes constantes.

[2] Hörmander 1983 , p. 170

[3] Consulte la entrada sobre el problema de regularidad para operadores diferenciales parciales .

[4] Hörmander 1985

[5] Hörmander 1985 , págs. 30–41

[6] Hadamard, 1932

[1]