En matemáticas y física , la notación gráfica de Penrose o la notación de diagrama tensorial es una representación visual (generalmente escrita a mano) de funciones multilineales o tensores propuesta por Roger Penrose en 1971. [1] Un diagrama en la notación consta de varias formas unidas por líneas. La notación ha sido estudiada extensamente por Predrag Cvitanović , quien la utilizó para clasificar los grupos de Lie clásicos . [2] También se ha generalizado el uso de la teoría de la representación para hacer girar redes en física, y con la presencia degrupos de matrices para trazar diagramas en álgebra lineal . La notación aparece ampliamente en la teoría cuántica moderna , particularmente en estados de productos matriciales y circuitos cuánticos .
Interpretaciones
Álgebra multilineal
En el lenguaje del álgebra multilineal , cada forma representa una función multilineal . Las líneas adjuntas a las formas representan las entradas o salidas de una función, y unir formas juntas de alguna manera es esencialmente la composición de funciones .
Tensores
En el lenguaje del álgebra tensorial , un tensor particular se asocia con una forma particular con muchas líneas que se proyectan hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a índices abstractos superior e inferior de tensores respectivamente. Las líneas de conexión entre dos formas corresponden a la contracción de índices . Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación también es explícitamente independiente de la base . [3]
Matrices
Cada forma representa una matriz y la multiplicación de tensores se realiza horizontalmente y la multiplicación de matrices se realiza verticalmente.
Representación de tensores especiales
Tensor métrico
El tensor métrico está representado por un bucle en forma de U o un bucle en forma de U invertido, según el tipo de tensor que se utilice.
Tensor de Levi-Civita
El tensor antisimétrico de Levi-Civita está representado por una barra horizontal gruesa con palos apuntando hacia abajo o hacia arriba, según el tipo de tensor que se utilice.
Constante de estructura
Las constantes de estructura () de un álgebra de Lie están representados por un pequeño triángulo con una línea apuntando hacia arriba y dos líneas apuntando hacia abajo.
Operaciones de tensor
Contracción de índices
La contracción de los índices se representa uniendo las líneas del índice.
Simetrización
La simetrización de índices está representada por una barra gruesa en zig-zag u ondulada que cruza las líneas de índice horizontalmente.
Antisimetrización
La antisimetrización de índices está representada por una línea recta gruesa que cruza las líneas de índice horizontalmente.
Determinante
El determinante se forma aplicando antisimetrización a los índices.
Derivado covariante
La derivada covariante () está representado por un círculo alrededor del (los) tensor (es) a diferenciar y una línea unida desde el círculo que apunta hacia abajo para representar el índice inferior de la derivada.
Manipulación del tensor
La notación diagramática es útil para manipular el álgebra de tensores. Por lo general, implica algunas " identidades " simples de manipulaciones de tensores.
Por ejemplo, , donde n es el número de dimensiones, es una "identidad" común.
Tensor de curvatura de Riemann
Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de la notación
Extensiones
La notación se ha ampliado con soporte para espino y torsión . [4] [5]
Ver también
- Notación de índice abstracto
- Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
- Categoría monoidal trenzada
- La mecánica cuántica categórica utiliza la notación de diagrama tensorial
- El estado del producto de la matriz utiliza la notación gráfica de Penrose
- Cálculo de Ricci
- Spin redes
- Diagrama de seguimiento
Notas
- ^ Roger Penrose , "Aplicaciones de tensores dimensionales negativos", en Matemáticas combinatorias y sus aplicaciones , Academic Press (1971). Véase Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 para un breve comentario.
- ^ Predrag Cvitanović (2008). Teoría de grupos: huellas de pájaros, mentiras y grupos excepcionales . Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Roger Penrose , El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo , 2005, ISBN 0-09-944068-7 , Capítulo Colectores de n dimensiones .
- ^ Penrose, R .; Rindler, W. (1984). Espinores y espacio-tiempo: Vol I, cálculo de dos espinores y campos relativistas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 424–434. ISBN 0-521-24527-3.
- ^ Penrose, R .; Rindler, W. (1986). Spinors y espacio-tiempo: vol. II, Métodos de espinor y twistor en geometría espacio-temporal . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-25267-9.