En matemáticas , la geometría algebraica real es la sub-rama de la geometría algebraica que estudia conjuntos algebraicos reales , es decir, soluciones de números reales a ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales y asignaciones entre ellos (en particular , asignaciones de polinomios reales ).
La geometría semialgebraica es el estudio de conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales y asignaciones entre ellos. Las aplicaciones más naturales entre conjuntos semialgebraicos son aplicaciones semialgebraicas , es decir, aplicaciones cuyas gráficas son conjuntos semialgebraicos.
Hoy en día las palabras 'geometría semialgebraica' y 'geometría algebraica real' se usan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no necesita ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . [1] [2] Los campos relacionados son la teoría o-mínima y la geometría analítica real .
Ejemplos: las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Las funciones algebraicas reales y las funciones de Nash son ejemplos de aplicaciones semialgebraicas. Las asignaciones polinómicas por partes (consulte la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son asignaciones semialgebraicas.
La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica real (y semialgebraica). El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para cortar conjuntos semialgebraicos en piezas bonitas y calcular sus proyecciones.
El álgebra real es la parte del álgebra que es relevante para la geometría algebraica (y semialgebraica) real. Se ocupa principalmente del estudio de campos ordenados y anillos ordenados (en particular , campos cerrados reales ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Consulte el problema 17 de Hilbert y Positivestellensatz de Krivine ). La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Los campos relacionados son la teoría de los problemas de momento ,optimización convexa , teoría de formas cuadráticas , teoría de valoración y teoría de modelos .