En matemáticas , el teorema de Poincaré-Hopf (también conocida como la fórmula Poincaré-Hopf índice , Poincaré-Hopf índice teorema , o Hopf índice teorema ) es un importante teorema que se utiliza en la topología diferencial . Lleva el nombre de Henri Poincaré y Heinz Hopf .
El teorema de Poincaré-Hopf a menudo se ilustra con el caso especial del teorema de la bola peluda , que simplemente establece que no existe un campo vectorial uniforme en una esfera n de dimensión uniforme que no tiene fuentes ni sumideros.
Declaración formal
Dejar ser una variedad diferenciable, de dimensión , y un campo vectorial en . Suponer que es un cero aislado de y arregle algunas coordenadas locales cerca. Elige una bola cerrada centrado en , así que eso es el único cero de en . Entonces el índice de a , , se puede definir como el grado del mapadesde el límite de hacia -esfera dada por .
Teorema. Dejarser un colector diferenciable compacto . Dejarser un campo vectorial encon ceros aislados. Sitiene límite , entonces insistimos en queestar apuntando en la dirección normal hacia afuera a lo largo del límite. Entonces tenemos la fórmula
donde la suma de los índices está sobre todos los ceros aislados de y es la característica de Euler de. Un corolario particularmente útil es cuando hay un campo vectorial que no desaparece que implica la característica de Euler 0.
El teorema fue probado para dos dimensiones por Henri Poincaré [1] y luego generalizado a dimensiones superiores por Heinz Hopf . [2]
Significado
La característica de Euler de una superficie cerrada es un concepto puramente topológico , mientras que el índice de un campo vectorial es puramente analítico . Por lo tanto, este teorema establece un vínculo profundo entre dos áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Quizás sea igualmente interesante que la demostración de este teorema se base en gran medida en la integración y, en particular, en el teorema de Stokes , que establece que la integral de la derivada exterior de una forma diferencial es igual a la integral de esa forma sobre la frontera. En el caso especial de una variedad sin límite, esto equivale a decir que la integral es 0. Pero al examinar los campos vectoriales en una vecindad suficientemente pequeña de una fuente o sumidero, vemos que las fuentes y los sumideros contribuyen con cantidades enteras (conocidas como índice ) al total, y todos deben sumar 0. Este resultado puede ser considerado [¿ por quién? ] uno de los primeros de toda una serie de teoremas [ ¿cuál? ] estableciendo relaciones profundas entre conceptos geométricos y analíticos o físicos . Desempeñan un papel importante en el estudio moderno de ambos campos.
Boceto de prueba
1. Incruste M en algún espacio euclidiano de alta dimensión. (Utilice el teorema de inclusión de Whitney ).
2. Tome un pequeño vecindario de M en ese espacio euclidiano, N ε . Extienda el campo vectorial a esta vecindad para que todavía tenga los mismos ceros y los ceros tengan los mismos índices. Además, asegúrese de que el campo vectorial extendido en el límite de N ε esté dirigido hacia afuera.
3. La suma de los índices de los ceros del campo vectorial antiguo (y nuevo) es igual al grado del mapa de Gauss desde el límite de N ε hasta la esfera ( n –1) dimensional . Por lo tanto, la suma de los índices es independiente del campo vector real, y depende sólo en el colector de M . Técnica: corte todos los ceros del campo vectorial con barrios pequeños. Luego use el hecho de que el grado de un mapa desde el límite de una variedad n-dimensional a una esfera ( n –1) -dimensional , que puede extenderse a toda la variedad n-dimensional, es cero. [ cita requerida ]
4. Por último, se indicará dicha suma de índices como la característica de Euler de M . Para hacer eso, construya un campo vectorial muy específico en M usando una triangulación de M para lo cual está claro que la suma de índices es igual a la característica de Euler.
Generalización
Todavía es posible definir el índice para un campo vectorial con ceros no aislados. Una construcción de este índice y la extensión del teorema de Poincaré-Hopf para campos vectoriales con ceros no aislados se describe en la Sección 1.1.2 de ( Brasselet, Seade & Suwa 2009 ). .
Ver también
Referencias
- "Teorema de Poincaré-Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). Campos de vectores sobre variedades singulares . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.