Grupo | S 4 | S 6 | S 8 | S 10 | S 12 |
---|---|---|---|---|---|
Subgrupos | C 2 | C 3 , S 2 = C yo | C 4 , C 2 | C 5 , S 2 = C yo | C 6 , S 4 , C 3 , C 2 |
Ejemplo | antiprisma digonal biselado | antiprisma triangular | antiprisma cuadrado | antiprisma pentagonal | antiprisma hexagonal |
Los antiprismas con bordes dirigidos tienen simetría de rotorreflexión. p -antiprismas para p impar contienen simetría de inversión , C i . |
En geometría , una rotación incorrecta , [1] también llamada rotación-reflexión , [2] rotorreflexión, [1] reflexión rotatoria , [3] o rotoinversión [4] es, dependiendo del contexto, una transformación lineal o transformación afín que es la combinación de una rotación alrededor de un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. [5]
Tres dimensiones
En 3D, equivale a la combinación de una rotación y una inversión en un punto del eje. [1] Por lo tanto, también se denomina rotoinversión o inversión rotatoria . Una simetría tridimensional que tiene un solo punto fijo es necesariamente una rotación incorrecta. [3]
En ambos casos las operaciones conmutan. La rotorreflexión y la rotoinversión son iguales si difieren en ángulo de rotación en 180 ° y el punto de inversión está en el plano de reflexión.
Por tanto, una rotación incorrecta de un objeto produce una rotación de su imagen especular . El eje se llama eje de rotación-reflexión . [6] Esto se denomina rotación incorrecta n- veces si el ángulo de rotación es 360 ° / n . [6] Hay varios sistemas diferentes para nombrar rotaciones incorrectas individuales:
- La notación de Schoenflies usa el símbolo S n (alemán, Spiegel , para espejo ) denota el grupo de simetría generado por una rotación impropia de n veces. Por ejemplo, la operación de simetría S 6 es la combinación de una rotación de (360 ° / 6) = 60 ° y una reflexión en el plano del espejo. (Esto no debe confundirse con la misma notación para grupos simétricos ). [6]
- En la notación de Hermann-Mauguin, el símbolo n se usa para la rotación de n- pliegues ; es decir, rotación en un ángulo de rotación de 360 ° / n con inversión. Tenga en cuenta que 2 es simplemente un reflejo y normalmente se denota m .
- La notación de Coxeter para S 2n es [2 n + , 2 + ].
- La notación Orbifold es n ×, orden 2 n .
El subgrupo directo de S 2n , de índice 2, es C n , [ n ] + , o ( nn ), de orden n , siendo el generador de rotorreflexión aplicado dos veces.
S 2 n para impar n contiene una inversión , denotado C i . Pero incluso para n S 2 n no contiene inversión. En general, si p impar es un divisor de n , entonces S 2 n / p es un subgrupo de S 2 n . Por ejemplo, S 4 es un subgrupo de S 12 .
Como isometría indirecta
En un sentido más amplio, una rotación incorrecta puede definirse como cualquier isometría indirecta ; es decir, un elemento de E (3) \ E + (3): por tanto, también puede ser un reflejo puro en un plano, o tener un plano de deslizamiento . Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de -1.
Una rotación adecuada es una rotación normal. En el sentido más amplio, una rotación adecuada se define como una isometría directa ; es decir, un elemento de E + (3): también puede ser la identidad, una rotación con traslación a lo largo del eje o una traslación pura. Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de 1.
Tanto en el sentido más estrecho como en el más amplio, la composición de dos rotaciones incorrectas es una rotación adecuada, y la composición de una rotación incorrecta y una incorrecta es una rotación incorrecta.
Sistemas fisicos
Al estudiar la simetría de un sistema físico bajo una rotación incorrecta (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vectores y pseudovectores (así como escalares y pseudoescalares , y en general entre tensores y pseudotensores ) , ya que estos últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).
Ver también
Referencias
- ^ a b c Morawiec, Adam (2004), Orientaciones y rotaciones: cálculos en texturas cristalográficas , Springer, p. 7, ISBN 9783540407348.
- ^ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Química inorgánica (5 ed.), Pearson, p. 78
- ^ a b Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Simetría, forma y superficies: una introducción a las matemáticas a través de la geometría , Springer, p. 267, ISBN 9781930190092.
- ^ Klein, Philpotts (2013). Materiales terrestres . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 89–90. ISBN 9780521145213.
- ^ Salomon, David (1999), Gráficos por computadora y modelado geométrico , Springer, p. 84, ISBN 9780387986821.
- ^ a b c Bishop, David M. (1993), Teoría y química de grupos , Publicaciones Courier Dover, p. 13, ISBN 9780486673554.