En álgebra, un functor polinomial es un endofunctor en la categoríade espacios vectoriales de dimensión finita que depende polinomialmente de espacios vectoriales. Por ejemplo, los poderes simétricos y los poderes exteriores son functores polinomiales de a ; estos dos también son functores de Schur .
La noción aparece tanto en la teoría de la representación como en la teoría de categorías (el cálculo de functores ). En particular, la categoría de functores polinomiales homogéneos de grado n es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita del grupo simétrico sobre un campo de característica cero. [1]
Definición
Sea k un campo de característica cero yla categoría de dimensión finita k - espacios vectoriales y k - mapas lineales . Entonces un endofunctor es un funtor polinomial si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:
- Para cada par de espacios vectoriales X , Y en, el mapa es un mapeo de polinomios (es decir, un polinomio con valores vectoriales en formas lineales).
- Dados mapas lineales en , la función definido en es una función polinomial con coeficientes en.
Se dice que un functor polinomial es homogéneo de grado n si para cualquier mapa lineal en con dominio común y codominio, el polinomio con valores vectoriales es homogéneo de grado n .
Variantes
Si se reemplaza “espacios vectoriales finitos” por “conjuntos finitos”, se obtiene la noción de especies combinatorias (para ser precisos, las de naturaleza polinomial).
Referencias
- Macdonald, Ian G. Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x + 475 págs. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144