En física , química y biología , un gradiente de potencial es la tasa local de cambio del potencial con respecto al desplazamiento, es decir, derivada espacial o gradiente. Esta cantidad ocurre con frecuencia en ecuaciones de procesos físicos porque conduce a alguna forma de flujo .
Definición
Una dimensión
La definición más simple de un gradiente potencial F en una dimensión es la siguiente: [1]
donde φ ( x ) es algún tipo de potencial escalar y x es el desplazamiento (no distancia ) en la x dirección, los subíndices etiqueta de dos posiciones diferentes x 1 , x 2 , y los potenciales en esos puntos, φ 1 = φ ( x 1 ) , ϕ 2 = ϕ ( x 2 ) . En el límite de los desplazamientos infinitesimales , la razón de diferencias se convierte en una razón de diferenciales :
La dirección del gradiente de potencial eléctrico es de a .
Tres dimensiones
En tres dimensiones , las coordenadas cartesianas dejan en claro que el gradiente potencial resultante es la suma de los gradientes potenciales en cada dirección:
donde e x , e y , e z son vectores unitarios en las direcciones x, y, z . Esto se puede escribir de forma compacta en términos del operador de gradiente ∇ ,
aunque esta forma final se mantiene en cualquier sistema de coordenadas curvilíneas , no solo cartesiano.
Esta expresión representa una característica significativa de cualquier campo vectorial conservador F , es decir, F tiene un potencial correspondiente ϕ . [2]
Usando el teorema de Stokes , esto se establece de manera equivalente como
lo que significa que el rizo , denotado ∇ ×, del campo vectorial se desvanece.
Física
Gravitación newtoniana
En el caso del campo gravitacional g , que se puede demostrar que es conservador, [3] es igual al gradiente en potencial gravitacional Φ :
Hay signos opuestos entre el campo gravitacional y el potencial, porque el gradiente y el campo del potencial tienen direcciones opuestas: a medida que aumenta el potencial, la intensidad del campo gravitacional disminuye y viceversa.
Electromagnetismo
En electrostática , el campo eléctrico E es independiente del tiempo t , por lo que no hay inducción de un campo magnético B dependiente del tiempo por la ley de inducción de Faraday :
lo que implica que E es el gradiente del potencial eléctrico V , idéntico al campo gravitacional clásico: [4]
En electrodinámica , el campo E depende del tiempo e induce un campo B dependiente del tiempo también (nuevamente por la ley de Faraday), por lo que el rizo de E no es cero como antes, lo que implica que el campo eléctrico ya no es el gradiente de potencial eléctrico. Se debe agregar un término dependiente del tiempo: [5]
donde A es el potencial del vector electromagnético . Esta última expresión potencial de hecho reduce la ley de Faraday a una identidad.
Mecánica de fluidos
En mecánica de fluidos , el campo de velocidad v describe el movimiento del fluido. Un flujo irrotacional significa que el campo de velocidad es conservador o, de manera equivalente, el campo del pseudovector de vorticidad ω es cero:
Esto permite definir el potencial de velocidad simplemente como:
Química
En una media celda electroquímica , en la interfaz entre el electrolito (una solución iónica ) y el electrodo metálico , la diferencia de potencial eléctrico estándar es: [6]
donde R = constante del gas , T = temperatura de la solución, z = valencia del metal, e = carga elemental , N A = constante de Avogadro y a M + z es la actividad de los iones en la solución. Las cantidades con superíndice ⊖ indican que la medición se toma en condiciones estándar . El gradiente de potencial es relativamente abrupto, ya que existe un límite casi definido entre el metal y la solución, de ahí el término de interfaz. [ aclaración necesaria ]
Biología
En biología , un gradiente de potencial es la diferencia neta de carga eléctrica a través de la membrana celular .
No unicidad de potenciales
Dado que los gradientes en potenciales corresponden a campos físicos , no hay diferencia si se agrega una constante (es borrada por el operador de gradiente ∇ que incluye la diferenciación parcial ). Esto significa que no hay forma de saber cuál es el "valor absoluto" del potencial "es": el valor cero del potencial es completamente arbitrario y se puede elegir en cualquier lugar por conveniencia (incluso "en el infinito"). Esta idea también se aplica a los potenciales vectoriales y se explota en la teoría de campo clásica y también en la teoría de campo de calibre .
Los valores absolutos de los potenciales no son físicamente observables, solo los gradientes y las diferencias de potencial dependientes de la trayectoria lo son. Sin embargo, el efecto Aharonov-Bohm es un efecto mecánico cuántico que ilustra que los potenciales electromagnéticos distintos de cero a lo largo de un bucle cerrado (incluso cuando los campos E y B son cero en todas partes de la región) conducen a cambios en la fase de la función de onda de una partícula cargada eléctricamente en la región, por lo que los potenciales parecen tener un significado mensurable.
Teoría potencial
Las ecuaciones de campo , como las leyes de Gauss para la electricidad , el magnetismo y la gravedad , se pueden escribir en la forma:
donde ρ es la densidad de carga eléctrica , densidad monopolo (si existieran) o densidad de masa y X es una constante (en términos de constantes físicas G , ε 0 , μ 0 y otros factores numéricos).
Los gradientes de potencial escalar conducen a la ecuación de Poisson :
Se ha desarrollado una teoría general de los potenciales para resolver esta ecuación del potencial. El gradiente de esa solución da el campo físico, resolviendo la ecuación del campo.
Ver también
- Tensores en coordenadas curvilíneas
Referencias
- ^ Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2da edición, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
- ↑ Vector Analysis (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (Estados Unidos), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
- ^ Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
- ^ Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
- ^ Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
- ^ Química física, PW Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7