Cuando un presheaf F con transferencias se restringe a la subcategoría de esquemas separados suaves, se puede ver como un presheaf en la categoría con mapas adicionales, no proveniente de morfismos de esquemas sino también de correspondencias finitas de X a Y
Una presheaf F con transferencias se dice que es-homotopía invariante sipara cada X .
Por ejemplo, tanto un grupo de Chow como la cohomología motívica son pre-oleadas con transferencias.
Correspondencia finita
Dejar ser esquemas algebraicos (es decir, separados y de tipo finito sobre un campo) y supongamos es suave. Entonces una correspondencia elemental es una subvariedad cerrada, algún componente conectado de X , de modo que la proyecciónes finito y sobreyectivo. Dejarser el grupo abeliano libre generado por correspondencias elementales de X a Y ; elementos deentonces se denominan correspondencias finitas .
La categoría de correspondencias finitas, denotada por , es la categoría donde los objetos son esquemas algebraicos suaves sobre un campo; donde un conjunto Hom se da como:y donde la composición se define como en la teoría de la intersección : correspondencias elementales dadas de a y de a , su composición es:
Esta categoría contiene la categoría de esquemas algebraicos suaves como una subcategoría en el siguiente sentido: hay un functor fiel que envía un objeto a sí mismo y un morfismo a la gráfica de.
La noción básica que subyace a todas las diferentes teorías es la pre-oleada con transferencias . Estos son functores aditivos contravariantes.
y su categoría asociada se denota típicamente , o solo si se comprende el campo subyacente. Cada una de las categorías de esta sección son categorías abelianas, por lo que son adecuadas para hacer álgebra homológica.
Etale poleas con transferencias
Estos se definen como pre-oleadas con transferencias tales que la restricción a cualquier esquema es una gavilla de etale. Es decir, si es una cubierta de etale, y es una gavilla previa con transferencias, es una gavilla Etale con transferencias si la secuencia
es exacto y hay un isomorfismo
para cualquier esquema liso fijo .
Gavillas de Nisnevich con transferencias
Existe una definición similar para la gavilla de Nisnevich con transferencias , donde la topología de Etale se cambia con la topología de Nisnevich.
Ejemplos de
Unidades
El haz de unidades es una gavilla con transferencias. Cualquier correspondencia induce un mapa finito de grados encima , de ahí el morfismo inducido
Uno de los ejemplos básicos de pre-oleadas con transferencias lo dan los functores representables. Dado un esquema suave hay una pregacha con transferencias enviando . [1]
Funtor representable asociado a un punto
La antesala asociada con transferencias de se denota .
Esquemas puntiagudos
Otra clase de ejemplos elementales proviene de esquemas puntiagudos con . Este morfismo induce un morfismo cuyo cokernel se denota . Hay una división que proviene del morfismo de la estructura., por lo que hay un mapa inducido , por eso .
Funtor representable asociado a A 1 -0
Hay un functor representable asociado al esquema apuntado denotado .
Producto aplastante de esquemas puntiagudos
Dada una familia finita de esquemas puntiagudos hay una gavilla previa asociada con las transferencias, también denotado [1] de su producto Smash . Esto se define como el cokernel de
Por ejemplo, dados dos esquemas puntiagudos , existe la gavilla previa asociada con las transferencias igual al cokernel de
Esto es análogo al producto smash en topología ya que donde la relación de equivalencia se modifica .
Cuña de un solo espacio
Una cuña finita de un espacio puntiagudo se denota . Un ejemplo de esta construcción es, que se utiliza en la definición de los complejos motivicos utilizado en cohomología Motivic .
Gavillas invariantes de homotopía
Un presheaf con transferencias es homotopía invariante si el morfismo de proyección induce un isomorfismo para cada esquema suave . Existe una construcción que asocia una gavilla invariante de homotopía [1] para cada gavilla previa con transferencias utilizando un análogo de homología simplicial.
Homología simplicial
Hay un esquema
dando un esquema cosimplicial , donde los morfismos son dadas por . Es decir,
da el morfismo inducido . Luego, a una antesala con transfer, hay un complejo asociado de pretensiones con transferencias enviando
y tiene los morfismos en cadena inducidos
dando un complejo de pre-despegues con traslados. El invaritante de homología se apresura con transferenciasson invariantes de homotopía. En particular, es la gavilla invariante de homotopía universal con transferencias asociadas a .
Relación con el grupo de Chow de ciclos cero
Denotar . Hay una sobreyección inducida que es un isomorfismo para descriptivo.
Homología cero de Z tr (X)
La homología cero de es donde la equivalencia de homotopía se da como sigue. Dos correspondencias finitas están -equivalente de homotopía si hay un morfismo tal que y .
Complejos motivadores
Para la categoría de motivos mixtos de Voevodsky, el motivo asociado a , es la clase de en . Uno de los complejos motivicos elementales son por , definido por la clase de
Para un grupo abeliano , como , hay un complejo motivico . Estos dan los grupos de cohomología motívica definidos por
ya que los complejos motivicos restringir a un complejo de gavillas Zariksi de . [1] Estos se denominan-th grupos de cohomología motívica de peso. También pueden extenderse a cualquier grupo abeliano.,
dando cohomología motívica con coeficientes en de peso .
Casos especiales
Hay algunos casos especiales que pueden analizarse explícitamente. Es decir, cuando. Estos resultados se pueden encontrar en la cuarta lección del libro Clay Math.
Z (0)
En este caso, que es cuasi-isomorfo para (parte superior de la página 17), [1] de ahí el peso Los grupos de cohomología son isomorfos a
dónde . Desde una tapa abierta
Z (1)
Este caso requiere más trabajo, pero el resultado final es un cuasi-isomorfismo entre y . Esto da a los dos grupos de cohomología motívica
donde los grupos de cohomología media son la cohomología de Zariski.
Caso general: Z (n)
En general, sobre un campo perfecto , hay una buena descripción de en términos de pre-oleadas con transferencia . Hay un cuasi-ismorfismo
por eso
que se encuentra utilizando técnicas de división junto con una serie de cuasi-isomorfismos. Los detalles están en la lección 15 del libro Clay Math.