Grupo de permutación primitiva

Grupo de permutación que no conserva una partición no trivial

En matemáticas , un grupo de la permutación G actuando en un conjunto finito no vacío X se llama primitiva si G actúa transitivamente en X y los únicos particiones los G -Action conservas son las particiones triviales ya sea en un único conjunto o en | X | conjuntos singleton. De lo contrario, si G es transitivo y G conserva una partición no trivial, G se llama imprimitivo .

Si bien los grupos de permutación primitivos son transitivos por definición, no todos los grupos de permutación transitivos son primitivos. El ejemplo más simple es el de cuatro grupos de Klein que actúa sobre los vértices de un cuadrado, que conserva la partición en diagonales. Por otro lado, si un grupo de permutación conserva solo permutaciones triviales, es primitivo, excepto en el caso del grupo trivial que actúa sobre un conjunto de 2 elementos. Esto se debe a que para una acción no transitiva, o las órbitas de G forman una partición no trivial preservada por G , o la acción de grupo es trivial, en cuyo caso todas las particiones no triviales de X (que existe para | X| ≥ 3) se conservan por G .

Esta terminología fue introducida por Évariste Galois en su última carta, en la que utilizó el término francés équation primitive para una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo. ^[1]

Propiedades

En la misma carta en la que introdujo el término "primitivo", Galois enunció el siguiente teorema: ^[2]

Si G es un grupo resoluble primitivo que actúa sobre un conjunto finito X , entonces el orden de X es una potencia de un número primo p . Además, X puede identificarse con un espacio afín sobre el campo finito con p elementos, y G actúa sobre X como un subgrupo del grupo afín .

Si el conjunto X en la que G actúa es finito, su cardinalidad se llama el grado de G .

Un corolario de este resultado de Galois es que, si p es un número primo impar, entonces el orden de un grupo transitivo resoluble de grado p es un divisor de De hecho, todo grupo transitivo de grado primo es primitivo (ya que el número de elementos de una partición fijada por G debe ser un divisor de p ), y es la cardinalidad del grupo afín de un espacio afín con p elementos.${\displaystyle p(p-1).}$${\displaystyle p(p-1)}$

De ello se deduce que, si p es un número primo mayor que 3, el grupo simétrico y el grupo alterno de grado p no son solucionables, ya que su orden es mayor que el teorema de Abel-Ruffini resulta de esto y del hecho de que existen polinomios con un grupo de Galois simétrico.${\displaystyle p(p-1).}$

Una definición equivalente de primitivismo se basa en el hecho de que cada acción transitiva de un grupo G es isomorfo a una acción que surge de la acción canónica de G en el conjunto G / H de clases laterales para H un subgrupo de G . Una acción de grupo es primitiva si es isomórfica a G / H para un subgrupo máximo H de G , e imprimitiva en caso contrario (es decir, si hay un subgrupo adecuado K de G del cual H es un subgrupo adecuado). Estas acciones imprimitivas son ejemplos derepresentaciones inducidas .

El número de grupos primitivos de pequeño grado fue declarado por Robert Carmichael en 1937:

La licenciatura	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	dieciséis	17	18	19	20	21	22	23	24	OEIS
Número	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	A000019

Hay una gran cantidad de grupos primitivos de grado 16. Como señala Carmichael, ^{[ se necesitan páginas ]} todos estos grupos, excepto el grupo simétrico y alterno , son subgrupos del grupo afín en el espacio de 4 dimensiones sobre el de 2 elementos campo finito .

Ejemplos de

• Considere el grupo simétrico que actúa sobre el conjunto y la permutación${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

Ambos y el grupo generado por son primitivos.${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \eta }$

• Ahora considere el grupo simétrico que actúa sobre el conjunto y la permutación${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

El grupo generado por no es primitivo, ya que la partición donde y se conserva bajo , es decir y .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• Todo grupo transitivo de primer grado es primitivo
• El grupo simétrico que actúa sobre el conjunto es primitivo para cada n y el grupo alterno que actúa sobre el conjunto es primitivo para cada  n  > 2.${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Ver también

• Bloque (teoría de grupos de permutación)
• Teorema de Jordan (grupo simétrico)
• Teorema de O'Nan-Scott , una clasificación de grupos primitivos finitos en varios tipos

Referencias

1. Última carta de Galois: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
2. Galois usó una terminología diferente, porque la mayor parte de la terminología en esta declaración se introdujo después, en parte para aclarar los conceptos introducidos por Galois.

• Roney-Dougal, Colva M. Los grupos de permutación primitiva de grado inferior a 2500 , Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154-183.
• La biblioteca de datos GAP "Grupos de permutación primitiva" .
• Carmichael, Robert D., Introducción a la teoría de grupos de orden finito. Ginn, Boston, 1937. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1956.
• Todd Rowland. "Acción de grupo primitivo" . MathWorld .