En álgebra abstracta , un módulo uniserial M es un módulo sobre un anillo R , cuyos submódulos están totalmente ordenados por inclusión . Esto significa simplemente que para dos submódulos cualesquiera N 1 y N 2 de M , ya sea o . Un módulo se denomina módulo en serie si es una suma directa de módulos uniseriales. Un anillo R se denomina anillo uniserial derecho si es uniserial como un módulo derecho sobre sí mismo, y también se denomina anillo serie derecho si es un módulo serie derecho sobre sí mismo. Los anillos uniseriales izquierdos y seriales izquierdos se definen de forma análoga y, en general, son distintos de sus homólogos derechos.
Un ejemplo motivador sencillo es el anillo del cociente para cualquier entero . Este anillo es siempre serial y es uniserial cuando n es una potencia primaria .
El término uniserial se ha utilizado de forma diferente a la definición anterior: para aclaraciones, véase más abajo .
Una lista alfabética parcial de importantes contribuyentes a la teoría de los anillos seriales incluye a los matemáticos Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski, y R. Campo de guerra. Las referencias de cada autor se pueden encontrar en ( Puninski 2001 ) harv error: múltiples objetivos (3 ×): CITEREFPuninski2001 ( ayuda ) y ( Hazewinkel 2004 ) .
Siguiendo la convención teórica del anillo común, si se da una condición dependiente izquierda / derecha sin mencionar un lado (por ejemplo, uniserial, serial, artiniano , noetheriano ), entonces se asume que la condición se cumple tanto en la izquierda como en la derecha. A menos que se especifique lo contrario, cada anillo en este artículo es un anillo con unidad y cada módulo es unital .
Propiedades de módulos y anillos uniseriales y seriales
Es inmediato que en un módulo R uniserial M , todos los submódulos excepto M y 0 son simultáneamente esenciales y superfluos . Si M tiene un submódulo máximo , entonces M es un módulo local . M también es claramente un módulo uniforme y, por lo tanto, es directamente indescomponible. También es fácil ver que cada submódulo de M generado de forma finita puede ser generado por un solo elemento, por lo que M es un módulo de Bézout .
Se sabe que el extremo del anillo de endomorfismo R ( M ) es un anillo semilocal que está muy cerca de un anillo local en el sentido de que el extremo R ( M ) tiene como máximo dos ideales rectos máximos . Si se supone que M es artiniano o noetheriano, entonces End R ( M ) es un anillo local.
Dado que los anillos con unidad siempre tienen un ideal derecho máximo, un anillo uniserial derecho es necesariamente local. Como se señaló anteriormente, un ideal correcto generado finitamente puede ser generado por un solo elemento, por lo que los anillos uniseriales derechos son anillos de Bézout correctos . Un anillo serial derecho R necesariamente tiene en cuenta la formadonde cada e i es un elemento idempotente y e i R es un módulo uniserial local. Esto indica que R también es un anillo semiperfecto , que es una condición más fuerte que ser un anillo semilocal.
Köthe demostró que los módulos de los anillos ideales principales de Artinian (que son un caso especial de los anillos en serie) son sumas directas de submódulos cíclicos . Más tarde, Cohen y Kaplansky determinaron que un anillo conmutativo R tiene esta propiedad para sus módulos si y solo si R es un anillo ideal principal artiniano. Nakayama demostró que los anillos seriales artinianos tienen esta propiedad en sus módulos y que lo contrario no es cierto.
El resultado más general, quizás, en los módulos de un anillo en serie se atribuye a Drozd y Warfield: establece que cada módulo presentado de forma finita sobre un anillo en serie es una suma directa de submódulos uniseriales cíclicos (y, por lo tanto, es en serie). Si además se supone que el anillo es Noetheriano, los módulos finitamente presentados y finitamente generados coinciden, por lo que todos los módulos finitamente generados son seriales.
La serie correcta se conserva bajo productos directos de anillos y módulos, y se conserva bajo cocientes de anillos . El ser uniserial se conserva para cocientes de anillos y módulos, pero nunca para productos. Un sumando directo de un módulo serial no es necesariamente serial, como lo demostró Puninski, pero los sumandos directos de sumas directas finitas de módulos uniseriales son módulos seriales ( Příhoda 2004 ).
Se ha verificado que la conjetura de Jacobson se mantiene en los anillos seriales noetherianos. ( Chatters y Hajarnavis 1980 )
Ejemplos de
Cualquier módulo simple es trivialmente uniserial, e igualmente los módulos semisimple son módulos seriales.
Se pueden extraer muchos ejemplos de anillos en serie de las secciones de estructura anteriores. Cada anillo de valoración es un anillo uniserial, y todos los anillos ideales principales de Artinianos son anillos en serie, como lo ilustran los anillos semisimple .
Los ejemplos más exóticos incluyen las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división T n ( D ) y el anillo de grupo por algún campo finito de prime característica p y grupo G que tiene una cíclico normal de p - Sylow subgrupo .
Estructura
Esta sección se ocupará principalmente de los anillos en serie noetherianos y su subclase, los anillos en serie Artinianos. En general, los anillos se descomponen primero en anillos indecomponibles. Una vez conocida la estructura de estos anillos, los anillos descomponibles son productos directos de los indecomponibles. Además, para anillos semiperfectos como los anillos en serie, el anillo básico es Morita equivalente al anillo original. Por lo tanto, si R es un anillo en serie con un anillo básico B , y se conoce la estructura de B , la teoría de la equivalencia de Morita da quedonde P es un progenerador B finamente generado . Esta es la razón por la que los resultados se expresan en términos de anillos básicos e indecomponibles.
En 1975, Kirichenko y Warfield publicaron de forma independiente y simultánea análisis de la estructura de los anillos seriales noetherianos y no artinianos. Los resultados fueron los mismos, sin embargo, los métodos que utilizaron fueron muy diferentes entre sí. El estudio de los anillos primarios hereditarios , noetherianos, así como los carcaj definidos en los anillos en serie, fueron herramientas importantes. El resultado central establece que un anillo en serie noetheriano, no artiniano, básico e indecomponible derecho puede describirse como un tipo de anillo de matriz sobre un dominio uniserial noetheriano V , cuyo radical de Jacobson J ( V ) es distinto de cero. Este anillo de matriz es un subanillo de M n ( V ) para algunos n , y consta de matrices con entradas de V en y por encima de la diagonal, y entradas de J ( V ) a continuación.
La estructura del anillo en serie artiniano se clasifica en casos según la estructura del carcaj. Resulta que la estructura del carcaj para un anillo serial artiniano básico e indecomponible es siempre un círculo o una línea. En el caso del carcaj de línea, el anillo es isomorfo a las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división (observe la similitud con la estructura de los anillos seriales noetherianos en el párrafo anterior). Una descripción completa de la estructura en el caso de un carcaj circular está más allá del alcance de este artículo, pero se puede encontrar en ( Puninski 2001 ) error harv: múltiples objetivos (3 ×): CITEREFPuninski2001 ( ayuda ) . Parafraseando el resultado tal como aparece allí: Un anillo en serie artiniano básico cuyo carcaj es un círculo es una imagen homomórfica de un "estallido" de un anillo cuasi-Frobenius en serie básico e indecomponible .
Una propiedad de unicidad de descomposición
Se dice que dos módulos U y V tienen la misma clase de monogenia , denotada, si existe un monomorfismo y un monomorfismo . La noción dual se puede definir: se dice que los módulos tienen la misma clase de epigenia , denotada, si existe un epimorfismo y un epimorfismo .
Se cumple la siguiente forma débil del teorema de Krull-Schmidt . Vamos U 1 , ..., T n , V 1 , ..., V t ser n + t no cero módulos uniseriales derecha sobre un anillo R . Entonces las sumas directas y son módulos R isomorfos si y solo si n = t y existen dos permutaciones y de 1, 2, ..., n tal que y para todo i = 1, 2, ..., n .
Este resultado, debido a Facchini, se ha extendido a infinitas sumas directas de módulos uniseriales por Příhoda en 2006. Esta extensión involucra los llamados módulos uniseriales quasismall. Estos módulos fueron definidos por Nguyen Viet Dung y Facchini, y Puninski demostró su existencia. La forma débil del teorema de Krull-Schmidt es válida no solo para módulos uniseriales, sino también para varias otras clases de módulos (módulos biuniformes, módulos presentados cíclicamente sobre anillos seriales, núcleos de morfismos entre módulos inyectables indecomponibles, módulos presentados de forma contraria).
Los anillos uniseriales derechos también pueden denominarse anillos de cadena derechos ( Faith 1999 ) o anillos de valoración derechos . Este último término alude a los anillos de valoración , que son por definición dominios uniseriales conmutativos . De la misma manera, los módulos uniseriales se han denominado módulos en cadena y los módulos seriales módulos semichain . La noción de anillo de catenaria tiene "cadena" como su homónimo, pero en general no está relacionada con los anillos de cadena.
En la década de 1930, Gottfried Köthe y Keizo Asano introdujeron el término Einreihig (literalmente "una serie") durante las investigaciones de anillos en los que todos los módulos son sumas directas de submódulos cíclicos ( Köthe 1935 ). Por esta razón, uniserial se usó para significar "anillo ideal principal artiniano" incluso tan recientemente como en la década de 1970. El artículo de Köthe también requería que un anillo uniserial tuviera una serie de composición única , que no solo obliga a que los ideales de derecha e izquierda estén ordenados linealmente, sino que también requiere que solo haya un número finito de ideales en las cadenas de ideales de izquierda y derecha. Debido a este precedente histórico, algunos autores incluyen la condición artiniana o condición de longitud de composición finita en sus definiciones de módulos y anillos uniseriales.
Ampliando el trabajo de Köthe, Tadashi Nakayama usó el término anillo uniserial generalizado ( Nakayama 1941 ) para referirse a un anillo serial artiniano. Nakayama demostró que todos los módulos de estos anillos son en serie. Los anillos en serie artinianos a veces se denominan álgebras de Nakayama y tienen una teoría de módulos bien desarrollada.
Warfield usó el término módulo homogéneamente serial para un módulo serial con la propiedad adicional de que para dos submódulos A y B generados finitamente ,donde J (-) denota el radical de Jacobson del módulo ( Warfield 1975 ). En un módulo con una longitud de composición finita, esto tiene el efecto de forzar a los factores de composición a ser isomorfos, de ahí el adjetivo "homogéneo". Resulta que un anillo en serie R es una suma directa finita de ideales correctos homogéneamente seriales si y solo si R es isomorfo a un anillo de matriz completo n × n sobre un anillo en serie local. Dichos anillos también se conocen como anillos en serie descomponibles primarios ( Faith 1976 ) ( Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004 ) .
Libros de texto
- Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Anillos y categorías de módulos , Springer, págs. 347–349, ISBN 0-387-97845-3
- Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Notas de investigación en matemáticas, 44 , Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
- Facchini, Alberto (1998), Anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
- Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, núm. 191. Springer-Verlag
- Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of 20th century asociative álgebra , Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8
- Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos. Vol. 1. , Editores académicos de Kluwer, ISBN 1-4020-2690-0
- Puninski, Gennadi (2001), anillos en serie , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9
Fuentes primarias
- Eisenbud, David; Griffith, Phillip (1971), "La estructura de los anillos seriales", Pacific J. Math. , 36 : 109–121, doi : 10.2140 / pjm.1971.36.109
- Facchini, Alberto (1996), "Krull-Schmidt falla para módulos seriales", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 348 (11): 4561–4575, doi : 10.1090 / s0002-9947-96-01740-0
- Köthe, Gottfried (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (Alemán)", Math. Z. , 39 : 31–44, doi : 10.1007 / bf01201343
- Nakayama, Tadasi (1941), "On Frobeniusean álgebras. II.", Annals of Mathematics , Second Series, 42 (1): 1–21, doi : 10.2307 / 1968984 , hdl : 10338.dmlcz / 140501 , JSTOR 1968984
- Příhoda, Pavel (2004), "Teorema débil de Krull-Schmidt y descomposiciones de suma directa de módulos seriales de dimensión finita de Goldie", J. Algebra , 281 : 332–341, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.06.027
- Příhoda, Pavel (2006), "Una versión del teorema débil de Krull-Schmidt para sumas directas infinitas de módulos uniseriales", Comm. Álgebra , 34 (4): 1479–1487, doi : 10.1080 / 00927870500455049
- Puninski, GT (2002), "Anillos seriales artinianos y noetherianos", J. Math. Sci. (Nueva York) , 110 : 2330–2347, doi : 10.1023 / A: 1014906008243
- Puninski, Gennadi (2001), "Alguna teoría de modelos sobre un dominio uniserial casi simple y descomposiciones de módulos seriales", J. Pure Appl. Álgebra , 163 (3): 319–337, doi : 10.1016 / s0022-4049 (00) 00140-7
- Puninski, Gennadi (2001), "Alguna teoría del modelo sobre un anillo uniserial excepcional y descomposiciones de módulos seriales", Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311–326, doi : 10.1112 / s0024610701002344
- Warfield, Robert B. Jr. (1975), "Anillos en serie y módulos finitamente presentados", J. Algebra , 37 (2): 187–222, doi : 10.1016 / 0021-8693 (75) 90074-5