En la lógica , la ley del medio excluido (o el principio de exclusión medias ) afirma que para cada propuesta , ya sea esta proposición o su negación es verdadera . [1] [2] Es una de las llamadas tres leyes del pensamiento , junto con la ley de no contradicción y la ley de identidad . Sin embargo, ningún sistema de lógica se basa solo en estas leyes, y ninguna de estas leyes proporciona reglas de inferencia , como modus ponens o las leyes de De Morgan.
La ley también se conoce como la ley (o principio ) del tercero excluido , en latín principium tertii exclusi . Otra designación latina para esta ley es tertium non datur : "no se da una tercera [posibilidad]". Es una tautología .
El principio no debe confundirse con el principio semántico de bivalencia , que establece que toda proposición es verdadera o falsa. El principio de bivalencia siempre implica la ley del medio excluido, mientras que lo contrario no siempre es cierto. Un contraejemplo comúnmente citado usa enunciados que no se pueden demostrar ahora, pero que se pueden demostrar en el futuro para mostrar que la ley del medio excluido puede aplicarse cuando falla el principio de bivalencia. [3]
La formulación más antigua conocida se encuentra en la discusión de Aristóteles sobre el principio de no contradicción , propuesta por primera vez en Sobre la interpretación , [4] donde dice que de dos proposiciones contradictorias (es decir, donde una proposición es la negación de la otra) una debe ser verdadera, y el otro falso. [5] También lo establece como principio en el libro 3 de Metafísica , diciendo que es necesario en todo caso afirmar o negar, [6] y que es imposible que haya algo entre las dos partes de una contradicción. [7]
Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir del uso de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:
Es imposible, entonces, que "ser un hombre" deba significar precisamente "no ser un hombre", si "hombre" no sólo significa algo sobre un tema, sino que también tiene un significado. ... Y no será posible ser y no ser la misma cosa, excepto en virtud de una ambigüedad, como si uno a quien llamamos "hombre", y otros llamaran "no-hombre"; pero el punto en cuestión no es si la misma cosa puede ser al mismo tiempo y no ser un hombre de nombre, sino si puede ser de hecho. ( Metafísica 4.4, WD Ross (trad.), GBWW 8, 525-526).
La afirmación de Aristóteles de que "no será posible ser y no ser la misma cosa", que se escribiría en lógica proposicional como ¬ ( P ∧ ¬ P ), es una afirmación que los lógicos modernos podrían llamar la ley del medio excluido ( P ∨ ¬ P ), como la distribución de la negación de la afirmación de Aristóteles hace equivalente, independientemente de que los antiguos reivindicaciones que ninguna declaración es tanto verdadero y falso, mientras que la última requiere que cualquier declaración es ya sea verdadera o falsa.
Pero Aristóteles también escribe, "puesto que es imposible que las contradictorias sean al mismo tiempo verdaderas de la misma cosa, obviamente los contrarios tampoco pueden pertenecer al mismo tiempo a la misma cosa" (Libro IV, CH 6, p. 531). Luego propone que "no puede haber un intermedio entre las contradictorias, pero de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado" (Libro IV, CH 7, p. 531). En el contexto de la de Aristóteles la lógica tradicional , esto es una declaración muy precisa de la ley del medio excluido, P ∨ ¬ P .
También en Sobre la interpretación , Aristóteles parece negar la ley del medio excluido en el caso de los contingentes futuros , en su discusión sobre la batalla naval.
Su forma habitual, "Todo juicio es verdadero o falso" [nota al pie 9] ... "(de Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) nota al pie 9:" Esta es la formulación muy simple de Leibniz (véase Nouveaux Essais , IV , 2) "(ibid p 421)
El principio fue establecido como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:
. [8]
Entonces, ¿qué es "verdad" y "falsedad"? En la inauguración, la tarde anuncia rápidamente algunas definiciones:
Verdad-valores . El "valor de verdad" de una proposición es verdad si es verdadera y falsedad si es falsa * [* Esta frase se debe a Frege] ... el valor de verdad de "p ∨ q" es verdad si la verdad- el valor de p o q es verdad, y es falsedad en caso contrario ... el de "~ p" es el opuesto al de p ... "(p. 7-8)
Esto no es de mucha ayuda. Pero más tarde, en una discusión mucho más profunda ("Definición y ambigüedad sistemática de Verdad y Falsedad" Capítulo II parte III, p. 41 y sigs.), PM define verdad y falsedad en términos de una relación entre la "a" y la "b" y el "perceptor". Por ejemplo, "Este 'a' es 'b'" (por ejemplo, "Este 'objeto a' es 'rojo'") realmente significa "'objeto a' es un dato sensorial" y "'rojo' es un dato sensorial" , y "están en relación" entre sí y en relación con "yo". Por lo tanto, lo que realmente queremos decir es: "Percibo que 'Este objeto a es rojo'" y esta es una "verdad" innegable por parte de un tercero.
PM define además una distinción entre un "dato sensorial" y una "sensación":
Es decir, cuando juzgamos (decimos) "esto es rojo", lo que ocurre es una relación de tres términos, la mente, y "esto", y "rojo". Por otro lado, cuando percibimos "el enrojecimiento de esto", hay una relación de dos términos, a saber, la mente y el objeto complejo "el enrojecimiento de esto" (págs. 43-44).
Russell reiteró su distinción entre "dato sensorial" y "sensación" en su libro The Problems of Philosophy (1912), publicado al mismo tiempo que PM (1910-1913):
Démosle el nombre de "datos de los sentidos" a las cosas que se conocen inmediatamente en la sensación: cosas tales como colores, sonidos, olores, durezas, asperezas, etc. Daremos el nombre de "sensación" a la experiencia de ser inmediatamente consciente de estas cosas ... El color en sí mismo es un dato sensorial, no una sensación. (pág.12)
Russell describió además su razonamiento detrás de sus definiciones de "verdad" y "falsedad" en el mismo libro (Capítulo XII, Verdad y falsedad ).
De la ley del medio excluido, fórmula ✸2.1 en Principia Mathematica , Whitehead y Russell derivan algunas de las herramientas más poderosas en el juego de herramientas de argumentación del lógico. (En Principia Mathematica, las fórmulas y proposiciones se identifican con un asterisco inicial y dos números, como "✸2.1".)
✸2.1 ~ p ∨ p "Ésta es la ley del medio excluido" ( PM , p. 101).
La prueba de ✸2.1 es aproximadamente como sigue: "idea primitiva" 1.08 define p → q = ~ p ∨ q . Sustituyendo p por q en esta regla se obtiene p → p = ~ p ∨ p . Dado que p → p es verdadero (este es el teorema 2.08, que se demuestra por separado), entonces ~ p ∨ p debe ser verdadero.
✸2.11 p ∨ ~ p (La permutación de las afirmaciones está permitida por el axioma 1.4)
✸2.12 p → ~ (~ p ) (Principio de doble negación, parte 1: si "esta rosa es roja" es cierto, entonces no es cierto que " 'esta rosa no es roja' es verdadera ".)
✸2.13 p ∨ ~ {~ (~ p )} (Lema junto con 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~ (~ p ) → p (Principio de doble negación, parte 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p) (Uno de los cuatro "Principios de transposición". Similar a 1.03, 1.16 y 1.17. Aquí se requirió una demostración muy larga.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Si es cierto que " Si esta rosa es roja, entonces este cerdo vuela ", entonces es cierto que" Si este cerdo no vuela, entonces esta rosa no es roja ".)
✸2.17 (~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Otro de los "Principios de transposición".)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Llamado "El complemento de reductio ad absurdum .Afirma que una proposición que se sigue dela hipótesis de su propia falsedad es verdadera "( PM , págs. 103-104).)
La mayoría de estos teoremas, en particular ✸2.1, ✸2.11 y ✸2.14, son rechazados por el intuicionismo. Estas herramientas se reformulan en otra forma que Kolmogorov cita como "los cuatro axiomas de implicación de Hilbert" y "los dos axiomas de negación de Hilbert" (Kolmogorov en van Heijenoort, p. 335).
Proposiciones ✸2.12 y ✸2.14, "doble negación": Los escritos intuicionistas de LEJ Brouwer se refieren a lo que él llama "el principio de reciprocidad de las múltiples especies , es decir, el principio de que para todo sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad "(Brouwer, ibid, p. 335).
Este principio se denomina comúnmente "el principio de la doble negación" ( PM , págs. 101-102). De la ley del centro excluido (✸2.1 y ✸2.11), PM deriva el principio ✸2.12 inmediatamente. Sustituimos ~ p por p en 2.11 para obtener ~ p ∨ ~ (~ p ), y por la definición de implicación (es decir, 1.01 p → q = ~ p ∨ q) entonces ~ p ∨ ~ (~ p) = p → ~ (~ p). QED (La derivación de 2.14 es un poco más complicada).
Es correcto, al menos para la lógica bivalente, es decir, se puede ver con un mapa de Karnaugh , que esta ley elimina "el medio" de lo inclusivo, o se usa en su ley (3). Y este es el punto de la demostración de Reichenbach de que algunos creen que lo exclusivo -o debería tomar el lugar de lo inclusivo -o .
Sobre este tema (en términos ciertamente muy técnicos), Reichenbach observa:
En la línea (30), la "(x)" significa "para todos" o "para todos", una forma utilizada por Russell y Reichenbach; hoy el simbolismo suele ser x . Por lo tanto, un ejemplo de la expresión se vería así:
Desde finales de la década de 1800 hasta la de 1930, se produjo un amargo y persistente debate entre Hilbert y sus seguidores frente a Hermann Weyl y LEJ Brouwer . La filosofía de Brouwer, llamada intuicionismo , comenzó en serio con Leopold Kronecker a fines del siglo XIX.
A Hilbert le disgustaban mucho las ideas de Kronecker:
Kronecker insistió en que no puede haber existencia sin construcción. Para él, como para Paul Gordan [otro matemático anciano], la prueba de Hilbert de la finitud de la base del sistema invariante simplemente no era matemática. Hilbert, por otro lado, a lo largo de su vida fue insistir en que si se puede probar que los atributos asignados a un concepto nunca conducirán a una contradicción, se establece así la existencia matemática del concepto (Reid p. 34)
Era su argumento [de Kronecker] que nada podía decirse que tuviera existencia matemática a menos que realmente pudiera construirse con un número finito de enteros positivos (Reid p. 26)
El debate tuvo un profundo efecto en Hilbert. Reid indica que el segundo problema de Hilbert (uno de los problemas de Hilbert de la Segunda Conferencia Internacional en París en 1900) evolucionó a partir de este debate (cursiva en el original):
Así, Hilbert estaba diciendo: "Si se demuestra que p y ~ p son ambos verdaderos, entonces p no existe", y por lo tanto estaba invocando la ley del medio excluido en la forma de la ley de la contradicción.
Y finalmente los constructivistas ... restringieron las matemáticas al estudio de operaciones concretas en estructuras finitas o potencialmente (pero no en realidad) infinitas; las totalidades infinitas completadas ... fueron rechazadas, al igual que las pruebas indirectas basadas en la Ley del Medio Excluido. Los más radicales entre los constructivistas fueron los intuicionistas, liderados por el antiguo topólogo LEJ Brouwer (Dawson p. 49)
El rencoroso debate continuó desde principios de la década de 1900 hasta la década de 1920; en 1927, Brouwer se quejó de "polemizar contra él [intuicionismo] en tonos burlones" (Brouwer en van Heijenoort, p. 492). Pero el debate fue fértil: dio lugar a Principia Mathematica (1910-1913), y ese trabajo dio una definición precisa a la ley del medio excluido, y todo esto proporcionó un marco intelectual y las herramientas necesarias para los matemáticos de principios del siglo XX. :
A partir del rencor, y en parte engendrado por él, surgieron varios desarrollos lógicos importantes ... la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo (1908a) ... que fue seguida dos años más tarde por el primer volumen de Principia Mathematica ... en el que Russell y Whitehead mostraron cómo, a través de la teoría de tipos, gran parte de la aritmética podría desarrollarse por medios lógicos (Dawson p. 49).
Brouwer redujo el debate al uso de pruebas diseñadas a partir de pruebas "negativas" o "inexistentes" versus pruebas "constructivas":
En su conferencia de 1941 en Yale y en el artículo posterior, Gödel propuso una solución: "que la negación de una proposición universal debía entenderse como la afirmación de la existencia ... de un contraejemplo" (Dawson, p. 157))
La aproximación de Gödel a la ley del medio excluido fue afirmar que las objeciones contra "el uso de 'definiciones impredicativas'" "tenían más peso" que "la ley del medio excluido y teoremas relacionados del cálculo proposicional" (Dawson p. 156). Propuso su "sistema Σ ... y concluyó mencionando varias aplicaciones de su interpretación. Entre ellas se encontraba una prueba de la coherencia con la lógica intuicionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~ A)) (a pesar de la inconsistencia del supuesto ∃ A: ~ (A ∨ ~ A) "(Dawson, p. 157)
El debate pareció debilitarse: matemáticos, lógicos e ingenieros siguen utilizando la ley del medio excluido (y la doble negación) en su trabajo diario.
Lo siguiente destaca el profundo problema matemático y filosófico detrás de lo que significa "saber", y también ayuda a dilucidar lo que implica la "ley" (es decir, lo que realmente significa la ley). Surgen sus dificultades con la ley: que no quieren aceptar como verdaderas implicaciones extraídas de lo que es inverificable (incontrolable, incognoscible) o de lo imposible o lo falso. (Todas las citas son de van Heijenoort, cursiva agregada).
Brouwer ofrece su definición de "principio del medio excluido"; vemos aquí también el problema de la "capacidad de prueba":
La definición de Kolmogorov cita los dos axiomas de negación de Hilbert.
donde ∨ significa "o". La equivalencia de las dos formas se prueba fácilmente (p. 421)
Por ejemplo, si P es la proposición:
entonces la ley del medio excluido sostiene que la disyunción lógica :
es verdad en virtud de su forma solamente. Es decir, la posición "intermedia", según la cual Sócrates no es ni mortal ni no mortal, está excluida por la lógica y, por lo tanto, o la primera posibilidad ( Sócrates es mortal ) o su negación ( no es el caso de que Sócrates sea mortal ) debe ser cierto.
A continuación se muestra un ejemplo de un argumento que depende de la ley del medio excluido. [10] Buscamos demostrar que
Se sabe que es irracional (ver prueba ). Considere el número
Claramente (excluido en el medio) este número es racional o irracional. Si es racional, la prueba es completa y
Pero si es irracional, entonces deja
Luego
y 2 es ciertamente racional. Con esto concluye la prueba.
En el argumento anterior, la afirmación "este número es racional o irracional" invoca la ley del medio excluido. Un intuicionista , por ejemplo, no aceptaría este argumento sin más apoyo para esa afirmación. Esto podría venir en forma de prueba de que el número en cuestión es de hecho irracional (o racional, según sea el caso); o un algoritmo finito que podría determinar si el número es racional.
La prueba anterior es un ejemplo de una prueba no constructiva rechazada por los intuicionistas:
La demostración no es constructiva porque no da números específicos y eso satisface el teorema, pero solo dos posibilidades separadas, una de las cuales debe funcionar. (En realidad es irracional, pero no se conoce una prueba fácil de ese hecho) (Davis 2000: 220)
(Las pruebas constructivas del ejemplo específico anterior no son difíciles de producir; por ejemplo, y se demuestra fácilmente que ambas son irracionales y ; una prueba permitida por los intuicionistas).
Por no constructivo, Davis quiere decir que "una prueba de que realmente hay entidades matemáticas que satisfacen ciertas condiciones no tendría que proporcionar un método para exhibir explícitamente las entidades en cuestión". (pág.85). Tales pruebas suponen la existencia de una totalidad que es completa, una noción rechazada por los intuicionistas cuando se extiende al infinito; para ellos, el infinito nunca puede completarse:
En la matemática clásica ocurren pruebas de existencia indirectas o no constructivas , que los intuicionistas no aceptan. Por ejemplo, para demostrar que existe una n tal que P ( n ), el matemático clásico puede deducir una contradicción del supuesto para todo n , no P ( n ). Tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, por reductio ad absurdum esto da no para todo n, no para P ( n ). La lógica clásica permite que este resultado se transforme en existe una n tal que P ( n), pero no en general el intuicionista ... el significado clásico, que en algún lugar de la totalidad infinita completa de los números naturales ocurre un n tal que P ( n ), no está disponible para él, ya que no concibe lo natural. números como una totalidad completa. [11] (Kleene 1952: 49–50)
David Hilbert y Luitzen EJ Brouwer dan ejemplos de la ley del medio excluido extendido al infinito. El ejemplo de Hilbert: "la afirmación de que o sólo hay un número finito de números primos o hay un número infinito" (citado en Davis 2000: 97); y Brouwer: "Toda especie matemática es finita o infinita". (Brouwer 1923 en van Heijenoort 1967: 336). En general, los intuicionistas permiten el uso de la ley del medio excluido cuando se limita al discurso sobre colecciones finitas (conjuntos), pero no cuando se usa en el discurso sobre conjuntos infinitos (por ejemplo, los números naturales). Así, los intuicionistas rechazan absolutamente la afirmación general: "Para todas las proposiciones P relativas a conjuntos infinitos D : P o ~P "(Kleene 1952: 48). [12]
Los contraejemplos putativos de la ley del medio excluido incluyen la paradoja del mentiroso o la paradoja de Quine . Ciertas resoluciones de estas paradojas, particularmente el dialeísmo de Graham Priest formalizado en LP, tienen la ley del medio excluido como un teorema, pero resuelven al Mentiroso como verdadero y falso. De esta manera, la ley del medio excluido es verdadera, pero debido a que la verdad misma, y por lo tanto la disyunción, no es exclusiva, no dice casi nada si una de las disyuntivas es paradójica, o tanto verdadera como falsa.
Muchos sistemas lógicos modernos reemplazan la ley del medio excluido con el concepto de negación como falla . En lugar de que una proposición sea verdadera o falsa, una proposición es verdadera o no puede ser probada como verdadera. [13] Estas dos dicotomías solo difieren en sistemas lógicos que no están completos . El principio de negación como falla se usa como base para la lógica autoepistémica y se usa ampliamente en la programación lógica . En estos sistemas, el programador es libre de afirmar la ley del medio excluido como un hecho verdadero, pero no está incorporado a priori en estos sistemas.
Matemáticos como L. E. J. Brouwer y Arend Heyting también han cuestionado la utilidad de la ley del medio excluido en el contexto de las matemáticas modernas. [14]
En la lógica matemática moderna , se ha demostrado que el medio excluido da como resultado una posible autocontradicción . En lógica, es posible hacer proposiciones bien construidas que no pueden ser verdaderas ni falsas; un ejemplo común de esto es la " paradoja del mentiroso ", [15] la afirmación "esta afirmación es falsa", que en sí misma no puede ser ni verdadera ni falsa. La ley del medio excluido todavía se mantiene aquí, ya que la negación de esta afirmación "Esta afirmación no es falsa" puede asignarse como verdadera. En la teoría de conjuntos , esta paradoja autorreferencial puede construirse examinando el conjunto "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Este conjunto está definido sin ambigüedades, pero conduce a un Russells paradoja :[16] [17] ¿El conjunto contiene, como uno de sus elementos, a sí mismo? Sin embargo, en la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel , este tipo de contradicción ya no se admite.
Algunos sistemas de lógica tienen leyes diferentes pero análogas. Para algunas lógicas de valor n finito , existe una ley análoga llamada ley de n + 1º excluido . Si la negación es cíclica y "∨" es un "operador máximo", entonces la ley se puede expresar en el lenguaje del objeto mediante (P ∨ ~ P ∨ ~~ P ∨ ... ∨ ~ ... ~ P), donde " ~ ... ~ "representa n −1 signos de negación y" ∨ ... ∨ " n −1 signos de disyunción. Es fácil comprobar que la oración debe recibir al menos uno de los n valores de verdad (y no un valor que no sea uno de los n ).
Otros sistemas rechazan la ley por completo. [ especificar ]