En la teoría de la medida, el teorema de Prokhorov relaciona la rigidez de las medidas con la compacidad relativa (y, por tanto, la convergencia débil ) en el espacio de las medidas de probabilidad . Se le atribuye al matemático soviético Yuri Vasilyevich Prokhorov , quien consideró medidas de probabilidad en espacios métricos completos separables. El término "teorema de Prokhorov" también se aplica a generalizaciones posteriores a los enunciados directos o inversos.
Declaración
Dejar ser un espacio métrico separable . Dejar denotar la colección de todas las medidas de probabilidad definidas en (con su σ-álgebra de Borel ).
Teorema.
- Una colección de las medidas de probabilidad es estricta si y sólo si el cierre dees secuencialmente compacto en el espacioequipado con la topología de convergencia débil .
- El espacio con la topología de convergencia débil es metrizable .
- Supongamos que además, es un espacio métrico completo (de modo quees un espacio polaco ). Hay una métrica completa en equivalente a la topología de convergencia débil; es más,es apretado si y solo si el cierre de en es compacto.
Corolarios
Para los espacios euclidianos tenemos que:
- Si es una secuencia apretada en (la colección de medidas de probabilidad en -espacio euclidiano dimensional ), entonces existe una subsecuencia y una medida de probabilidad tal que converge débilmente a .
- Si es una secuencia apretada en tal que cada subsecuencia débilmente convergente tiene el mismo límite , luego la secuencia converge débilmente a .
Extensión
El teorema de Prokhorov se puede ampliar para considerar medidas complejas o medidas finitas con signo .
Teorema: suponga que es un espacio métrico separable completo y es una familia de medidas complejas de Borel en . Las siguientes declaraciones son equivalentes:
- es secuencialmente compacto; es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia débilmente convergente.
- es estricta y uniformemente limitada en la norma de variación total .
Comentarios
Dado que el teorema de Prokhorov expresa la hermeticidad en términos de compacidad, el teorema de Arzelà-Ascoli se utiliza a menudo para sustituir la compacidad: en los espacios funcionales, esto conduce a una caracterización de la hermeticidad en términos del módulo de continuidad o un análogo apropiado - ver hermeticidad en clásico Espacio Wiener y estanqueidad en el espacio Skorokhod .
Hay varias extensiones profundas y no triviales del teorema de Prokhorov. Sin embargo, esos resultados no eclipsan la importancia y la relevancia para las aplicaciones del resultado original.
Ver también
Referencias
- Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
- Bogachev, Vladimir (2006). Teoría de la medida Vol 1 y 2 . Saltador. ISBN 978-3-540-34513-8.
- Prokhorov, Yuri V. (1956). "Convergencia de procesos aleatorios y teoremas de límite en teoría de probabilidades". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 1 (2): 157–214. doi : 10.1137 / 1101016 .
- Dudley, Richard. M. (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman y Hall. ISBN 0-412-05161-3.