En matemáticas , la métrica de Lévy-Prokhorov (a veces conocida simplemente como la métrica de Prokhorov ) es una métrica (es decir, una definición de distancia) sobre la colección de medidas de probabilidad en un espacio métrico dado . Lleva el nombre del matemático francés Paul Lévy y el matemático soviético Yuri Vasilyevich Prokhorov ; Prokhorov lo introdujo en 1956 como una generalización de la métrica anterior de Lévy .
Definición
Dejar ser un espacio métrico con su álgebra sigma de Borel . Dejardenotar la colección de todas las medidas de probabilidad en el espacio medible .
Para un subconjunto , defina la vecindad ε de por
dónde es la bola abierta de radio centrado en .
La métrica de Lévy-Prokhorov se define estableciendo la distancia entre dos medidas de probabilidad y ser - estar
Para medidas de probabilidad claramente .
Algunos autores omiten una de las dos desigualdades o eligen solo abierto o cerrado ; o la desigualdad implica la otra, y, pero restringir a conjuntos abiertos puede cambiar la métrica así definida (si no es polaco ).
Propiedades
- Si es separable , la convergencia de medidas en la métrica de Lévy-Prokhorov equivale a una convergencia débil de medidas . Por lo tanto,es una metrización de la topología de convergencia débil en.
- El espacio métrico es separable si y solo si es separable.
- Si está completo entoncesEsta completo. Si todas las medidas entienen soporte separable , entonces la implicación inversa también es válida: si está completo entonces Esta completo. En particular, este es el caso si es separable.
- Si es separable y completo, un subconjunto es relativamente compacto si y solo si su-el cierre es -compacto.
Ver también
Referencias
- Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534 .
- Zolotarev, VM (2001) [1994], "Métrica de Lévy-Prokhorov" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press