El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados afirma que un número primo impar p se puede expresar como
con número entero x y y si y sólo si p es congruente a 1 (mod 4). La declaración fue anunciada por Girard en 1625, y nuevamente por Fermat en 1640, pero ninguno proporcionó una prueba.
La cláusula "solo si" es fácil: un cuadrado perfecto es congruente con 0 o 1 módulo 4, por lo tanto, una suma de dos cuadrados es congruente con 0, 1 o 2. Un número primo impar es congruente con 1 o 3 módulo 4 , y la segunda posibilidad acaba de descartarse. La primera prueba de que existe tal representación la dio Leonhard Euler en 1747 y fue complicada. Desde entonces, se han encontrado muchas pruebas diferentes. Entre ellos, han aparecido la demostración que usa el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos [1] y la prueba corta de Don Zagier basada en involuciones.
Prueba de Euler por descenso infinito
Euler logró demostrar el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados en 1749, cuando tenía cuarenta y dos años. Comunicó esto en una carta a Goldbach fechada el 12 de abril de 1749. [2] La prueba se basa en la descendencia infinita , y sólo se esboza brevemente en la carta. La prueba completa consta de cinco pasos y se publica en dos artículos. Los primeros cuatro pasos son las Proposiciones 1 a 4 del primer artículo [3] y no corresponden exactamente a los cuatro pasos siguientes. El quinto paso a continuación es del segundo artículo. [4] [5]
Para evitar la ambigüedad, cero siempre será un constituyente posible válido de "sumas de dos cuadrados", por lo que, por ejemplo, cada cuadrado de un número entero se puede expresar trivialmente como la suma de dos cuadrados estableciendo uno de ellos en cero.
1. El producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de dos cuadrados, es en sí mismo una suma de dos cuadrados.
- Esta es una propiedad bien conocida, basada en la identidad
- Esta es una propiedad bien conocida, basada en la identidad
- debido a Diofanto .
2. Si un número que es una suma de dos cuadrados es divisible por un primo que es una suma de dos cuadrados, entonces el cociente es una suma de dos cuadrados. (Esta es la primera propuesta de Euler).
- De hecho, supongamos, por ejemplo, que es divisible por y que este último es un primo. Luego divide
- De hecho, supongamos, por ejemplo, que es divisible por y que este último es un primo. Luego divide
- Desde es primo, divide uno de los dos factores. Supongamos que divide . Desde
- Desde es primo, divide uno de los dos factores. Supongamos que divide . Desde
- (Identidad de Diofanto) se sigue que debe dividir . Entonces la ecuación se puede dividir por el cuadrado de . Dividiendo la expresión por rinde:
- (Identidad de Diofanto) se sigue que debe dividir . Entonces la ecuación se puede dividir por el cuadrado de . Dividiendo la expresión por rinde:
- y por lo tanto expresa el cociente como una suma de dos cuadrados, como se afirma.
- Por otro lado si divide , un argumento similar se sostiene al usar la siguiente variante de la identidad de Diofanto:
- Por otro lado si divide , un argumento similar se sostiene al usar la siguiente variante de la identidad de Diofanto:
3. Si un número que se puede escribir como una suma de dos cuadrados es divisible por un número que no es una suma de dos cuadrados, entonces el cociente tiene un factor que no es una suma de dos cuadrados. (Esta es la segunda propuesta de Euler).
- Suponer es un número no expresable como una suma de dos cuadrados, que divide . Escriba el cociente, factorizado en sus factores primos (posiblemente repetidos), como así que eso . Si todos los factores pueden escribirse como sumas de dos cuadrados, luego podemos dividir sucesivamente por , , etc., y aplicando el paso (2.) anterior, deducimos que cada cociente sucesivo más pequeño es una suma de dos cuadrados. Si llegamos hasta el final luego en sí mismo tendría que ser igual a la suma de dos cuadrados, lo cual es una contradicción. Entonces, al menos uno de los números primos no es la suma de dos cuadrados.
4. Si y son enteros positivos relativamente primos, entonces cada factor de es una suma de dos cuadrados. (Este es el paso que usa el paso (3.) para producir un 'descenso infinito' y fue la Proposición 4 de Euler. La prueba esbozada a continuación también incluye la prueba de su Proposición 3).
- Dejar ser enteros positivos relativamente primos: sin pérdida de generalidadno es primo en sí mismo, de lo contrario no hay nada que probar. Dejar por lo tanto, sea un factor adecuado de , no necesariamente primo: queremos mostrar que es una suma de dos cuadrados. Nuevamente, no perdemos nada asumiendo desde el caso es obvio.
- Dejar ser enteros no negativos tales que son los múltiplos más cercanos de (en valor absoluto) a respectivamente. Note que las diferencias y son números enteros de valor absoluto estrictamente menores que : de hecho, cuando es par, gcd ; de lo contrario desde gcd , también tendríamos gcd .
- Multiplicando obtenemos
- definir de forma única un número entero no negativo . Desde divide ambos extremos de esta secuencia de ecuaciones, se sigue que también debe ser divisible por : decir . Dejar ser el mcd de y que por la co-primacía de es relativamente primordial para . Por lo tanto divide , entonces escribiendo , y , obtenemos la expresión para relativamente mejor y , y con , desde
- Multiplicando obtenemos
- Ahora, finalmente, el paso de descenso : si no es la suma de dos cuadrados, entonces en el paso (3.) debe haber un factor decir de que no es la suma de dos cuadrados. Pero y repitiendo estos pasos (inicialmente con en lugar de , y así ad infinitum ) podremos encontrar una secuencia infinita estrictamente decreciente de números enteros positivos que no son en sí mismos la suma de dos cuadrados, sino que se dividen en una suma de dos cuadrados relativamente primos. Dado que un descenso tan infinito es imposible, concluimos que debe ser expresable como una suma de dos cuadrados, como se afirma.
5. Cada primo de la formaes una suma de dos cuadrados. (Este es el resultado principal del segundo artículo de Euler).
- Si , luego, según el pequeño teorema de Fermat, cada uno de los números es congruente con un módulo . Las diferencias son, por tanto, todos divisibles por . Cada una de estas diferencias se puede factorizar como
- Desde es primo, debe dividir uno de los dos factores. Si en alguno de los casos divide el primer factor, luego por el paso anterior concluimos que es en sí mismo una suma de dos cuadrados (ya que y diferir por , son relativamente primos). Entonces es suficiente para mostrar que no siempre se puede dividir el segundo factor. Si divide todo diferencias , entonces dividiría todo diferencias de términos sucesivos, todos diferencias de las diferencias, etc. Desde el las diferencias de la secuencia son todos iguales a ( Diferencia finita ), el Las diferencias serían todas constantes e iguales a , que ciertamente no es divisible por . Por lo tanto, no puede dividir todos los segundos factores, lo que demuestra que es de hecho la suma de dos cuadrados.
- Si , luego, según el pequeño teorema de Fermat, cada uno de los números es congruente con un módulo . Las diferencias son, por tanto, todos divisibles por . Cada una de estas diferencias se puede factorizar como
Prueba de Lagrange a través de formas cuadráticas
Lagrange completó una demostración en 1775 [6] basada en su teoría general de formas cuadráticas integrales . La siguiente presentación incorpora una ligera simplificación de su argumento, debido a Gauss , que aparece en el artículo 182 de las Disquisitiones Arithmeticae .
Una forma cuadrática ( binaria integral ) es una expresión de la forma con enteros. Un númerose dice que está representado por la forma si existen enteros tal que . El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados equivale entonces al enunciado de que un primo está representado por la forma (es decir, , ) Exactamente cuando es congruente con modulo .
El discriminante de la forma cuadrática se define como. El discriminante de es entonces igual a .
Dos formas y son equivalentes si y solo si existen sustituciones con coeficientes enteros
con de modo que, cuando se sustituye en la primera forma, se obtiene la segunda. Se ve fácilmente que las formas equivalentes tienen el mismo discriminante y, por lo tanto, también la misma paridad para el coeficiente medio., que coincide con la paridad del discriminante. Además, está claro que las formas equivalentes representarán exactamente los mismos números enteros, porque este tipo de sustituciones se pueden revertir mediante sustituciones del mismo tipo.
Lagrange demostró que todas las formas positivas definidas de discriminante -4 son equivalentes. Por tanto, para probar el teorema de Fermat es suficiente encontrar cualquier forma positiva definida de discriminante −4 que represente. Por ejemplo, se puede utilizar un formulario
donde el primer coeficiente a = fue elegido para que la forma representa al establecer x = 1 e y = 0, el coeficiente b = 2 m es un número par arbitrario (como debe ser, para obtener un discriminante par), y finalmente se elige de modo que el discriminante es igual a −4, lo que garantiza que la forma es de hecho equivalente a . Por supuesto, el coeficientedebe ser un número entero, por lo que el problema se reduce a encontrar un número entero m tal que divide : o en otras palabras, una 'raíz cuadrada de -1 módulo' .
Reclamamos tal raíz cuadrada de es dado por . En primer lugar, del teorema fundamental de la aritmética de Euclides se sigue que. Como consecuencia,: es decir, son sus propias inversas modulo y esta propiedad es única para ellos. Luego se sigue de la validez de la división euclidiana en los enteros y del hecho de que es primordial, que para cada el gcd de y puede expresarse a través del algoritmo euclidiano produciendo un inverso único y distinto de modulo . En particular, por lo tanto, el producto de todos los residuos distintos de cero módulo es . Dejar: de lo que se acaba de observar, . Pero por definicin, dado que cada trmino en puede emparejarse con su negativo en , , que desde es extraño muestra que , según sea necesario.
Las dos pruebas de Dedekind usando enteros gaussianos
Richard Dedekind dio al menos dos demostraciones del teorema de Fermat en sumas de dos cuadrados, ambas usando las propiedades aritméticas de los enteros gaussianos , que son números de la forma a + bi , donde a y b son números enteros, e i es la raíz cuadrada −1. Uno aparece en la sección 27 de su exposición de ideales publicada en 1877; el segundo apareció en el suplemento XI a Peter Gustav Lejeune Dirichlet 's Vorlesungen über Zahlentheorie , y fue publicado en 1894.
1. Primera prueba. Sies un número primo impar , entonces tenemosen los enteros gaussianos. En consecuencia, escribiendo un entero gaussiano ω = x + iy con x, y ∈ Z y aplicando el automorfismo de Frobenius en Z [ i ] / ( p ), se encuentra
ya que el automorfismo fija los elementos de Z / ( p ). En el caso actual,para algún número entero n, por lo que en la expresión anterior para ω p , el exponente (p-1) / 2 de -1 es par. Por lo tanto, el lado derecho es igual a ω, por lo que en este caso el endomorfismo de Frobenius de Z [ i ] / ( p ) es la identidad.
Kummer ya había establecido que si f ∈ {1,2 } es el orden del automorfismo de Frobenius de Z [ i ] / ( p ), entonces el ideal en Z [ i ] sería un producto de 2 / f ideales primos distintos . (De hecho, Kummer había establecido un resultado mucho más general para cualquier extensión de Z obtenida al unir una raíz primitiva m -ésima de la unidad , donde m era cualquier número entero positivo; este es el caso m = 4 de ese resultado). el ideal ( p ) es el producto de dos ideales primos diferentes en Z [ i ]. Dado que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano para la función norma, todo ideal es principal y generado por un elemento distinto de cero del ideal de norma mínima. Dado que la norma es multiplicativa, la norma de un generadorde uno de los factores ideales de ( p ) debe ser un divisor estricto de, de modo que debemos tener , que da el teorema de Fermat.
2. Segunda prueba. Esta prueba se basa en el resultado de Lagrange de que sies un número primo, entonces debe haber un entero m tal quees divisible por p (también podemos ver esto por el criterio de Euler ); también utiliza el hecho de que los enteros gaussianos son un dominio de factorización único (porque son un dominio euclidiano). Dado que p ∈ Z no divide ninguno de los enteros gaussianos y (ya que no divide sus partes imaginarias ), pero divide su producto, resulta que no puede ser un elemento primo en los enteros gaussianos. Por lo tanto, debemos tener una factorización no trivial de p en los enteros gaussianos, que en vista de la norma puede tener solo dos factores (ya que la norma es multiplicativa y, solo puede haber hasta dos factores de p), por lo que debe tener la forma para algunos enteros y . Esto inmediatamente produce que.
Prueba por el teorema de Minkowski
Para congruente con modificación un primo, es un mod de residuo cuadráticosegún el criterio de Euler . Por tanto, existe un entero tal que divide . DejarSer los elementos básicos estándar para el espacio vectorial. y establecer y . Considere la celosía . Si luego . Por lo tanto divide para cualquier .
El área del paralelogramo fundamental de la celosía es. El área del disco abierto,, de radio centrado alrededor del origen es . Además,es convexo y simétrico con respecto al origen. Por lo tanto, según el teorema de Minkowski, existe un vector distinto de cero tal que . Ambas cosas y entonces . Por eso es la suma de los cuadrados de los componentes de .
La "prueba de una frase" de Zagier
Dejar ser primo, deja denotar los números naturales (con o sin cero), y considerar el conjunto finitode triples de números. Luegotiene dos involuciones : una obvia cuyos puntos fijos corresponden a representaciones de como una suma de dos cuadrados, y uno más complicado,
que tiene exactamente un punto fijo . Dos involuciones sobre el mismo conjunto finito deben tener conjuntos de puntos fijos con la misma paridad , y dado que la segunda involución tiene un número impar de puntos fijos, también lo tiene la primera. Cero es par, por lo que la primera involución tiene un número distinto de cero de puntos fijos, cualquiera de los cuales da una representación de como suma de dos cuadrados.
Esta prueba, debida a Zagier , es una simplificación de una prueba anterior de Heath-Brown , que a su vez se inspiró en una prueba de Liouville . La técnica de la demostración es un análogo combinatorio del principio topológico de que las características de Euler de un espacio topológico con una involución y de su conjunto de puntos fijos tienen la misma paridad y recuerda el uso de involuciones de signo inverso en las pruebas de biyecciones combinatorias.
Esta prueba es equivalente a una prueba geométrica o "visual" usando figuras de "molino de viento", dada por Alexander Spivak en 2006 y descrita en esta publicación de MathOverflow y este video de Mathologer en YouTube ¿Por qué se perdió esta prueba visual durante 400 años? (Teorema de los dos cuadrados de Fermat) en YouTube .
Prueba con la teoría de la partición
En 2016, A. David Christopher dio una prueba de la teoría de la partición al considerar particiones del primo impar tener exactamente dos tamaños , cada uno ocurre exactamente veces, y mostrando que al menos una de tales particiones existe si es congruente con 1 módulo 4. [7]
Referencias
- Richard Dedekind, La teoría de los enteros algebraicos .
- Harold M. Edwards, Último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas núm. 50, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
- CF Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (edición en inglés). Transl. por Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.
- Goldman, Jay R. (1998), La reina de las matemáticas: una guía históricamente motivada para la teoría de números , AK Peters , ISBN 1-56881-006-7
- DR Heath-Brown, teorema de los dos cuadrados de Fermat . Invariante, 11 (1984) págs. 3-5.
- John Stillwell , Introducción a la teoría de los enteros algebraicos por Richard Dedekind. Biblioteca de matemáticas de Cambridge, Cambridge University Press, 1996.
- Don Zagier , Una prueba de una oración de que cada primo p ≡ 1 mod 4 es una suma de dos cuadrados . Amer. Matemáticas. Mensual 97 (1990), no. 2, 144, doi : 10.2307 / 2323918
Notas
- ^ Véase el libro de Goldman, §22.5
- ^ Euler à Goldbach, letra CXXV
- ^ De numerus qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) [1]
- ↑ Demonstratio teorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) [2]
- ^ El resumen se basa en el libro de Edwards, páginas 45-48.
- ^ Nouv. Mém. Acad. Berlín, année 1771, 125; ibídem. année 1773, 275; ibíd. année 1775, 351.
- ^ A. David Christopher, una prueba de la teoría de la partición del teorema de dos cuadrados de Fermat ", Matemáticas discretas, 339 (2016) 1410-1411.
enlaces externos
- Dos pruebas más en PlanetMath.org
- "Una prueba de una oración del teorema" . Archivado desde el original el 5 de febrero de 2012.CS1 maint: URL no apta ( enlace )
- Teorema de los dos cuadrados de Fermat , DR Heath-Brown, 1984.