Prueba matemática

P. Oxy. 29 , uno de los fragmentos más antiguos que se conservan de los Elementos de Euclides , un libro de texto utilizado durante milenios para enseñar técnicas de corrección de pruebas. El diagrama acompaña al Libro II, Proposición 5. ^[1]

Una prueba matemática es un argumento inferencial para un enunciado matemático , que muestra que los supuestos establecidos garantizan lógicamente la conclusión. El argumento puede utilizar otros enunciados previamente establecidos, como teoremas ; pero toda prueba puede, en principio, construirse utilizando sólo ciertos supuestos básicos u originales conocidos como axiomas , ^[2]^[3]^[4] junto con las reglas de inferencia aceptadas . Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo exhaustivo que establece la certeza lógica, que se distingue de la empírica.argumentos o razonamientos inductivos no exhaustivos que establezcan una "expectativa razonable". Presentar muchos casos en los que el enunciado es válido no es suficiente para una prueba, que debe demostrar que el enunciado es verdadero en todos los casos posibles. Una proposición no probada que se cree que es verdadera se conoce como conjetura o hipótesis si se usa con frecuencia como suposición para trabajos matemáticos posteriores. ^[5]

Las demostraciones emplean la lógica expresada en símbolos matemáticos, junto con el lenguaje natural que generalmente admite cierta ambigüedad. En la mayoría de la literatura matemática, las demostraciones se escriben en términos de lógica informal rigurosa . Las pruebas puramente formales , escritas completamente en lenguaje simbólico sin la participación del lenguaje natural, se consideran en la teoría de la prueba . La distinción entre pruebas formales e informales ha llevado a un gran examen de la práctica matemática actual e histórica , el cuasi-empirismo en matemáticas y las llamadas matemáticas populares., tradiciones orales en la comunidad matemática dominante o en otras culturas. La filosofía de las matemáticas se ocupa del papel del lenguaje y la lógica en las pruebas, y las matemáticas como lenguaje .

Historia y etimología

La palabra "prueba" proviene del latín probare (probar). Palabras modernas relacionadas son Inglés "sonda", "libertad condicional", y "probabilidad", Español activo probar (al olor o sabor, o, a veces tocar o de prueba), ^[6] italiana provare (a tratar), y alemanes probieren (a tratar) . El término legal "probidad" significa autoridad o credibilidad, el poder del testimonio para probar hechos cuando es dado por personas de reputación o estatus. ^[7]

Los argumentos de plausibilidad que utilizan dispositivos heurísticos como imágenes y analogías precedieron a la demostración matemática estricta. ^[8] Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría , que se originó en problemas prácticos de medición de la tierra. ^[9] El desarrollo de la demostración matemática es principalmente el producto de las matemáticas griegas antiguas y uno de sus mayores logros. ^[10] Tales (624-546 a. C.) e Hipócrates de Quíos (c. 470-410 a. C.) dieron algunas de las primeras demostraciones conocidas de teoremas en geometría. Eudoxo (408–355 a. C.) y Theaetetus(417-369 a. C.) formuló teoremas pero no los demostró. Aristóteles (384–322 a. C.) dijo que las definiciones deberían describir el concepto que se define en términos de otros conceptos ya conocidos.

La prueba matemática fue revolucionada por Euclides (300 a. C.), quien introdujo el método axiomático que todavía se usa en la actualidad. Comienza con términos y axiomas indefinidos , proposiciones relativas a los términos indefinidos que se supone que son evidentemente verdaderas (del griego "axios", algo digno). A partir de esta base, el método prueba teoremas utilizando lógica deductiva . El libro de Euclides, los Elementos , fue leído por cualquiera que fuera considerado educado en Occidente hasta mediados del siglo XX. ^[11] Además de los teoremas de geometría, como el teorema de Pitágoras , los Elementos también cubren la teoría de números., incluida una prueba de que la raíz cuadrada de dos es irracional y una prueba de que hay infinitos números primos .

También se produjeron avances adicionales en las matemáticas islámicas medievales . Mientras que las primeras demostraciones griegas eran en gran parte demostraciones geométricas, el desarrollo de la aritmética y el álgebra por los matemáticos islámicos permitió demostraciones más generales sin dependencia de la intuición geométrica. En el siglo X d.C., el matemático iraquí Al-Hashimi trabajó con números como tales, llamados "líneas", pero no necesariamente considerados como medidas de objetos geométricos, para probar proposiciones algebraicas sobre multiplicación, división, etc., incluida la existencia de números irracionales. . ^[12] Una prueba inductiva de sucesiones aritméticas.fue introducido en el Al-Fakhri (1000) por Al-Karaji , quien lo usó para probar el teorema del binomio y las propiedades del triángulo de Pascal . Alhazen también desarrolló el método de prueba por contradicción , como el primer intento de probar el postulado paralelo euclidiano . ^[13]

La teoría de la demostración moderna trata las demostraciones como estructuras de datos definidas inductivamente , sin requerir la suposición de que los axiomas son "verdaderos" en ningún sentido. Esto permite teorías matemáticas paralelas como modelos formales de un concepto intuitivo dado, basadas en conjuntos alternos de axiomas, por ejemplo , la teoría de conjuntos axiomáticos y la geometría no euclidiana .

Naturaleza y finalidad

En la práctica, una prueba se expresa en lenguaje natural y es un argumento riguroso destinado a convencer a la audiencia de la verdad de una declaración. El estándar de rigor no es absoluto y ha variado a lo largo de la historia. Una prueba se puede presentar de manera diferente dependiendo de la audiencia destinataria. Para ganar aceptación, una prueba debe cumplir con los estándares de rigor comunales; un argumento considerado vago o incompleto puede ser rechazado.

El concepto de prueba se formaliza en el campo de la lógica matemática . ^[14] Una prueba formal se escribe en un lenguaje formal en lugar de en un lenguaje natural. Una demostración formal es una secuencia de fórmulas en un lenguaje formal, que comienza con una suposición y con cada fórmula subsiguiente una consecuencia lógica de las anteriores. Esta definición hace que el concepto de prueba sea susceptible de estudio. De hecho, el campo de la teoría de la prueba estudia las pruebas formales y sus propiedades, siendo la más famosa y sorprendente que casi todos los sistemas axiomáticos pueden generar ciertos enunciados indecidibles que no se pueden demostrar dentro del sistema.

La definición de prueba formal pretende capturar el concepto de pruebas tal como está escrito en la práctica de las matemáticas. La solidez de esta definición equivale a la creencia de que una prueba publicada puede, en principio, convertirse en una prueba formal. Sin embargo, fuera del campo de los asistentes de prueba automatizados , esto rara vez se hace en la práctica. Una pregunta clásica en filosofía es si las pruebas matemáticas son analíticas o sintéticas . Kant , quien introdujo la distinción analítico-sintética , creía que las pruebas matemáticas son sintéticas, mientras que Quine argumentó en su " Dos dogmas del empirismo " de 1951 que tal distinción es insostenible. ^[15]

Las pruebas pueden admirarse por su belleza matemática . El matemático Paul Erdős era conocido por describir demostraciones que le parecían particularmente elegantes, ya que provenían de "El Libro", un tomo hipotético que contiene los métodos más hermosos para probar cada teorema. El libro Proofs from THE BOOK , publicado en 2003, está dedicado a presentar 32 pruebas que sus editores encuentran particularmente agradables.

Métodos de prueba

Prueba directa

En la prueba directa, la conclusión se establece mediante la combinación lógica de axiomas, definiciones y teoremas anteriores. ^[16] Por ejemplo, la prueba directa se puede utilizar para demostrar que la suma de dos incluso números enteros es siempre igual:

Considere dos números enteros pares x e y . Puesto que son incluso, pueden ser escritas como x = 2 a y y = 2 b , respectivamente, para algunos números enteros una y b . Entonces la suma es x + y = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ). Por lo tanto, x + y tiene 2 como factor y, por definición, es par. Por lo tanto, la suma de dos números enteros pares es par.

Esta demostración usa la definición de números enteros pares, las propiedades de cierre de los enteros bajo suma y multiplicación, y la propiedad distributiva .

Prueba por inducción matemática

A pesar de su nombre, la inducción matemática es un método de deducción , no una forma de razonamiento inductivo . En la prueba por inducción matemática, se prueba un solo "caso base" y se prueba una "regla de inducción" que establece que cualquier caso arbitrario implica el siguiente caso. Dado que, en principio, la regla de inducción se puede aplicar repetidamente (a partir del caso base probado), se deduce que todos los casos (generalmente infinitos ) son probables. ^[17] Esto evita tener que probar cada caso individualmente. Una variante de la inducción matemática es la prueba por descenso infinito , que puede usarse, por ejemplo, para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos . ^[5]

Una aplicación común de la prueba por inducción matemática es demostrar que una propiedad que se sabe que se cumple para un número es válida para todos los números naturales : ^[18] Sea $N = {1, 2, 3, 4, ...$ } el conjunto de números, y sea $P (n)$ un enunciado matemático que implica el número natural $n que$ pertenece a $N$ tal que

(i) $P (1)$ es verdadero, es decir, $P (n)$ es verdadero para $n = 1$ .
(ii) $P (n +1)$ es verdadero siempre que $P (n)$ sea verdadero, es decir, $P (n)$ es verdadero implica que $P (n +1)$ es verdadero.
Entonces $P (n)$ es cierto para todos los números naturales $n$ .

Por ejemplo, podemos probar por inducción que todos los enteros positivos de la forma $2 n - 1$ son impares . Deje que $P (n)$ represente " $2 n - 1$ es impar":

(i) Para

n = 1

,

2 n - 1 = 2 (1) - 1 = 1

, y

1

es impar, ya que deja un resto de

1

cuando se divide por

2

. Por tanto,

P (1)

es verdadero.

(ii) Para cualquier

n

, si

2 n - 1

es impar (

P (n)

), entonces

(2 n - 1) + 2

también debe ser impar, porque sumar

2

a un número impar da como resultado un número impar. Pero

(2 n - 1) + 2 = 2 n + 1 = 2 (n +1) - 1

, entonces

2 (n +1) - 1

es impar (

P (n +1)

). Entonces

P (n)

implica

P (n +1)

.

Por tanto,

2 n - 1

es impar, para todos los enteros positivos

n

.

La frase más corta "prueba por inducción" se usa a menudo en lugar de "prueba por inducción matemática". ^[19]

Prueba por contraposición

La prueba por contraposición infiere el enunciado "si p entonces q " al establecer el enunciado contrapositivo lógicamente equivalente : "si no q entonces no p ".

Por ejemplo, la contraposición se puede usar para establecer que, dado un número entero , si es par, entonces es par: ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x}$

Supongamos que no es par. Entonces es extraño. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto es impar. Por lo tanto, ni siquiera. Por lo tanto, si es par, la suposición debe ser falsa, por lo que debe ser par.

{\ Displaystyle x}

{\ Displaystyle x}

{\ Displaystyle x ^ {2} = x \ cdot x}

{\ Displaystyle x ^ {2}}

{\ Displaystyle x ^ {2}}

{\ Displaystyle x}

Prueba por contradicción

En la prueba por contradicción, también conocida por la frase latina reductio ad absurdum (por reducción al absurdo), se muestra que si algún enunciado se asume verdadero, se produce una contradicción lógica , por lo que el enunciado debe ser falso. Un ejemplo famoso involucra la prueba de que es un número irracional : ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Supongamos que es un número racional. Entonces podría ser escrito en términos más simples como en un y b son números enteros distintos de cero con ningún factor común . Por lo tanto, . Al cuadrar ambos lados se obtiene 2 b ² = a ² . Dado que 2 divide la expresión de la izquierda, 2 también debe dividir la expresión igual de la derecha. Es decir, a ² es par, lo que implica que a también debe ser par, como se ve en la proposición anterior (en #Proof por contraposición ). Entonces podemos escribir a = 2 c , donde c

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}

{\sqrt {2}}={a \over b}

b{\sqrt {2}}=a

también es un número entero. La sustitución en la ecuación original produce 2 b ² = (2 c ) ² = 4 c ² . Dividiendo ambos lados por 2 se obtiene b ² = 2 c ² . Pero luego, por el mismo argumento que antes, 2 divide a b ² , por lo que b debe ser par. Sin embargo, si un y b son ambos pares, tienen 2 como un factor común. Esto contradice nuestra afirmación anterior de que una y B no tienen ningún factor común, por lo que debemos concluir que es un número irracional.

{\sqrt {2}}

Parafraseando: si se pudiera escribir como una fracción , esta fracción nunca se podría escribir en los términos más bajos, ya que 2 siempre se podría factorizar a partir del numerador y denominador. ${\sqrt {2}}$

Prueba por construcción

Prueba por construcción, o prueba por ejemplo, es la construcción de un ejemplo concreto con una propiedad para mostrar que existe algo que tiene esa propiedad. Joseph Liouville , por ejemplo, probó la existencia de números trascendentales construyendo un ejemplo explícito . También se puede utilizar para construir un contraejemplo para refutar una proposición de que todos los elementos tienen una propiedad determinada.

Prueba por agotamiento

En la prueba por agotamiento, la conclusión se establece dividiéndola en un número finito de casos y probando cada uno por separado. A veces, el número de casos puede llegar a ser muy grande. Por ejemplo, la primera prueba del teorema de los cuatro colores fue una prueba por agotamiento con 1.936 casos. Esta prueba fue controvertida porque la mayoría de los casos fueron controlados por un programa de computadora, no a mano. La prueba más corta conocida del teorema de los cuatro colores a partir de 2011 ^[update]todavía tiene más de 600 casos. ^[20]

Prueba probabilística

Una prueba probabilística es aquella en la que se demuestra la existencia de un ejemplo, con certeza, mediante el uso de métodos de la teoría de la probabilidad . La prueba probabilística, como la prueba por construcción, es una de las muchas formas de probar los teoremas de existencia .

En el método probabilístico, se busca un objeto que tenga una propiedad determinada, comenzando con un gran conjunto de candidatos. Se asigna una cierta probabilidad para que cada candidato sea elegido y luego se prueba que existe una probabilidad distinta de cero de que un candidato elegido tenga la propiedad deseada. Esto no especifica qué candidatos tienen la propiedad, pero la probabilidad no podría ser positiva sin al menos una.

Una prueba probabilística no debe confundirse con un argumento de que un teorema es "probablemente" verdadero, un "argumento de plausibilidad". El trabajo sobre la conjetura de Collatz muestra cuán lejos está la plausibilidad de la prueba genuina. Si bien la mayoría de los matemáticos no cree que la evidencia probabilística de las propiedades de un objeto dado cuente como una prueba matemática genuina, algunos matemáticos y filósofos han argumentado que al menos algunos tipos de evidencia probabilística (como el algoritmo probabilístico de Rabin para probar la primalidad ) son tan buenas como auténticas pruebas matemáticas. ^[21]^[22]

Prueba combinatoria

Una prueba combinatoria establece la equivalencia de diferentes expresiones mostrando que cuentan el mismo objeto de diferentes maneras. A menudo, se utiliza una biyección entre dos conjuntos para mostrar que las expresiones para sus dos tamaños son iguales. Alternativamente, un argumento de recuento doble proporciona dos expresiones diferentes para el tamaño de un solo conjunto, mostrando nuevamente que las dos expresiones son iguales.

Prueba no constructiva

Una prueba no constructiva establece que existe un objeto matemático con una determinada propiedad, sin explicar cómo se puede encontrar dicho objeto. A menudo, esto toma la forma de una prueba por contradicción en la que se demuestra que la inexistencia del objeto es imposible. Por el contrario, una prueba constructiva establece que un objeto en particular existe al proporcionar un método para encontrarlo. El siguiente ejemplo famoso de una prueba no constructiva muestra que existen dos números irracionales a y b tales que son un número racional : $a^{b}$

O es un número racional y hemos terminado (tomamos ), o es irracional para que podamos escribir y . Esto entonces da , que es, por tanto, un número racional de la forma

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

a=b={\sqrt {2}}

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

b={\sqrt {2}}

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

a^{b}.

Pruebas estadísticas en matemáticas puras

La expresión "prueba estadística" puede usarse técnica o coloquialmente en áreas de matemáticas puras , como la criptografía , las series caóticas y la teoría probabilística de números o la teoría analítica de números . ^[23]^[24]^[25] Se usa con menos frecuencia para referirse a una demostración matemática en la rama de las matemáticas conocida como estadística matemática . Consulte también la sección " Prueba estadística con datos " a continuación.

Pruebas asistidas por computadora

Hasta el siglo XX se suponía que cualquier prueba podía, en principio, ser verificada por un matemático competente para confirmar su validez. ^[8] Sin embargo, las computadoras ahora se utilizan tanto para probar teoremas como para realizar cálculos que son demasiado largos para que cualquier humano o equipo de humanos los pueda verificar; la primera prueba del teorema de los cuatro coloreses un ejemplo de prueba asistida por computadora. A algunos matemáticos les preocupa que la posibilidad de un error en un programa de computadora o un error de tiempo de ejecución en sus cálculos ponga en duda la validez de tales pruebas asistidas por computadora. En la práctica, las posibilidades de que un error invalide una prueba asistida por computadora pueden reducirse incorporando redundancia y autoverificaciones en los cálculos y desarrollando múltiples enfoques y programas independientes. Los errores tampoco pueden descartarse por completo en el caso de que los humanos verifiquen una prueba, especialmente si la prueba contiene lenguaje natural y requiere un conocimiento matemático profundo para descubrir las posibles suposiciones y falacias ocultas involucradas.

Declaraciones indecidibles

Un enunciado que no puede demostrarse ni refutarse a partir de un conjunto de axiomas se llama indecidible (a partir de esos axiomas). Un ejemplo es el postulado paralelo , que no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas restantes de la geometría euclidiana .

Los matemáticos han demostrado que hay muchas afirmaciones que no son probables ni refutables en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), el sistema estándar de la teoría de conjuntos en matemáticas (asumiendo que ZFC es consistente); ver Lista de declaraciones indecidibles en ZFC .

El (primer) teorema de incompletitud de Gödel muestra que muchos sistemas de axiomas de interés matemático tendrán enunciados indecidibles.

Matemática heurística y matemática experimental

Si bien los primeros matemáticos como Eudoxo de Cnidus no usaron demostraciones, desde Euclides hasta los desarrollos matemáticos fundamentales de finales del siglo XIX y XX, las demostraciones eran una parte esencial de las matemáticas. ^[26] Con el aumento de la potencia informática en la década de 1960, se comenzó a realizar un trabajo significativo en la investigación de objetos matemáticos fuera del marco del teorema de prueba, ^[27] en matemáticas experimentales . Los primeros pioneros de estos métodos pretendían que el trabajo se integrara en última instancia en un marco clásico de prueba-teorema, por ejemplo, el desarrollo temprano de la geometría fractal , ^[28] que en última instancia estaba tan integrado.

Conceptos relacionados

Prueba visual

Aunque no es una prueba formal, una demostración visual de un teorema matemático a veces se denomina " prueba sin palabras ". La imagen de la izquierda a continuación es un ejemplo de una demostración visual histórica del teorema de Pitágoras en el caso del triángulo (3, 4, 5) .

Prueba visual del triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 a. C.
Demostración visual animada del teorema de Pitágoras por reordenamiento.
Una segunda demostración animada del teorema de Pitágoras.

Algunas demostraciones visuales ilusorias, como el rompecabezas del cuadrado perdido , se pueden construir de una manera que parezca probar un supuesto hecho matemático, pero solo lo hacen bajo la presencia de pequeños errores (por ejemplo, líneas supuestamente rectas que en realidad se doblan ligeramente) que son imperceptible hasta que toda la imagen se examina de cerca, con longitudes y ángulos medidos o calculados con precisión.

Prueba elemental

Una prueba elemental es una prueba que solo usa técnicas básicas. Más específicamente, el término se usa en teoría de números para referirse a demostraciones que no hacen uso de análisis complejos . Durante algún tiempo se pensó que ciertos teoremas, como el teorema de los números primos , solo podían demostrarse utilizando matemáticas "superiores". Sin embargo, a lo largo del tiempo, muchos de estos resultados se han reprobado utilizando solo técnicas elementales.

Prueba de dos columnas

Una prueba de dos columnas publicada en 1913

Una forma particular de organizar una prueba usando dos columnas paralelas se usa a menudo como ejercicio matemático en las clases de geometría elemental en los Estados Unidos. ^[29] La prueba está escrita como una serie de líneas en dos columnas. En cada línea, la columna de la izquierda contiene una proposición, mientras que la columna de la derecha contiene una breve explicación de cómo la proposición correspondiente en la columna de la izquierda es un axioma, una hipótesis o puede derivarse lógicamente de proposiciones anteriores. . La columna de la izquierda normalmente se titula "Declaraciones" y la columna de la derecha normalmente se titula "Razones". ^[30]

Uso coloquial de "prueba matemática"

La expresión "prueba matemática" es utilizada por la gente común para referirse al uso de métodos matemáticos o discutir con objetos matemáticos , como números, para demostrar algo sobre la vida cotidiana, o cuando los datos utilizados en un argumento son numéricos. A veces también se usa para referirse a una "prueba estadística" (a continuación), especialmente cuando se usa para argumentar a partir de datos .

Prueba estadística usando datos

La "prueba estadística" de los datos se refiere a la aplicación de estadísticas , análisis de datos o análisis bayesiano para inferir proposiciones con respecto a la probabilidad de los datos . Si bien se usa la prueba matemática para establecer teoremas en estadística, generalmente no es una prueba matemática en el sentido de que los supuestos de los que se derivan los enunciados de probabilidad requieren evidencia empírica de fuera de las matemáticas para su verificación. En física , además de los métodos estadísticos, la "prueba estadística" puede referirse a los métodos matemáticos especializados de la física aplicados para analizar datos en una física de partículas. experimento o estudio observacional en cosmología física . La "prueba estadística" también puede referirse a datos brutos o un diagrama convincente que incluya datos, como diagramas de dispersión , cuando los datos o el diagrama son suficientemente convincentes sin más análisis.

Pruebas de lógica inductiva y análisis bayesiano

Las pruebas que usan lógica inductiva , aunque se consideran de naturaleza matemática, buscan establecer proposiciones con un grado de certeza, que actúa de manera similar a la probabilidad , y puede ser menos que la certeza total . La lógica inductiva no debe confundirse con la inducción matemática .

El análisis bayesiano utiliza el teorema de Bayes para actualizar la evaluación de una persona de las probabilidades de hipótesis cuando se adquiere nueva evidencia o información .

Pruebas como objetos mentales

El psicologismo ve las pruebas matemáticas como objetos psicológicos o mentales. Los filósofos matemáticos , como Leibniz , Frege y Carnap, han criticado de diversas maneras este punto de vista y han intentado desarrollar una semántica para lo que consideraban el lenguaje del pensamiento , mediante el cual los estándares de la prueba matemática podrían aplicarse a la ciencia empírica . ^{[ cita requerida ]}

Influencia de los métodos de prueba matemática fuera de las matemáticas

Los filósofos-matemáticos como Spinoza han intentado formular argumentos filosóficos de una manera axiomática, mediante la cual los estándares de prueba matemática podrían aplicarse a la argumentación en la filosofía general. Otros matemáticos-filósofos han intentado utilizar estándares de prueba matemática y razón, sin empirismo, para llegar a enunciados fuera de las matemáticas, pero teniendo la certeza de proposiciones deducidas en una prueba matemática, como el argumento del cogito de Descartes .

Terminando una prueba

A veces, la abreviatura "QED" se escribe para indicar el final de una prueba. Esta abreviatura significa "quod erat demostrandum" , que en latín significa "lo que se iba a demostrar" . Una alternativa más común es usar un cuadrado o un rectángulo, como □ o ∎, conocido como " lápida " o "halmos" por su epónimo Paul Halmos . ^[5] A menudo, "lo que se iba a mostrar" se indica verbalmente al escribir "QED", "□" o "∎" durante una presentación oral.

Ver también

Demostración automatizada de teoremas
Prueba inválida
Lista de pruebas incompletas
Lista de pruebas largas
Lista de pruebas matemáticas
Prueba no constructiva
Prueba por intimidación
Análisis de terminación
Experimento mental
Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

Referencias

^ Bill Casselman . "Uno de los diagramas existentes más antiguos de Euclides" . Universidad de Columbia Británica . Consultado el 26 de septiembre de 2008 .
^ Clapham, C. & Nicholson, JN The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Cuarta edición . Una declaración cuya verdad debe tomarse como evidente por sí misma o asumirse. Ciertas áreas de las matemáticas implican elegir un conjunto de axiomas y descubrir qué resultados se pueden derivar de ellos, proporcionando pruebas de los teoremas que se obtienen.
^ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. Las tuercas y tornillos de las pruebas: una introducción a las pruebas matemáticas (tercera ed.). Prensa académica . pag. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
^ Gossett, Eric (julio de 2009). Matemáticas discretas con prueba . John Wiley e hijos . pag. 86. ISBN 978-0470457931. Definición 3.1. Prueba: una definición informal
^ a b c "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 1 de agosto de 2019 . Consultado el 20 de octubre de 2019 .
^ "prueba" Nuevo diccionario inglés de Oxford más corto, 1993, OUP, Oxford.
^ Hacking, Ian (1984) [1975]. La aparición de la probabilidad: un estudio filosófico de las primeras ideas sobre probabilidad, inducción e inferencia estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-31803-7.
^ a b La historia y el concepto de prueba matemática , Steven G. Krantz. 1. 5 de febrero de 2007
^ Kneale, William ; Kneale, Martha (mayo de 1985) [1962]. El desarrollo de la lógica (Nueva ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.
^ Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (febrero de 2015). "La génesis de la prueba en la antigua Grecia Las implicaciones pedagógicas de una lectura husserliana" . Archive ouverte HAL . Consultado el 20 de octubre de 2019 .
^ Eves, Howard W. (enero de 1990) [1962]. Introducción a la historia de las matemáticas (Serie Saunders) (6ª ed.). Brooks / Cole . pag. 141. ISBN 978-0030295584. Ninguna obra, excepto La Biblia, se ha utilizado más ampliamente ...
^ Matvievskaya, Galina (1987), "La teoría de los irracionales cuadráticos en las matemáticas orientales medievales", Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York , 500 (1): 253–77 [260], Bibcode : 1987NYASA.500..253M , doi : 10.1111 / j.1749-6632.1987.tb37206.x , S2CID 121416910
↑ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008
^ Buss, Samuel R. (1998), "Una introducción a la teoría de la prueba", en Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137 , Elsevier, págs. 1 –78, ISBN 978-0-08-053318-6. Ver en particular la p. 3 : "El estudio de la teoría de la prueba está motivado tradicionalmente por el problema de formalizar las pruebas matemáticas; la formulación original de la lógica de primer orden de Frege [1879] fue el primer paso exitoso en esta dirección".
^ Quine, Willard Van Orman (1961). "Dos dogmas del empirismo" (PDF) . Universität Zürich - Theologische Fakultät . pag. 12 . Consultado el 20 de octubre de 2019 .
^ Cupillari, p. 20.
^ Cupillari, p. 46.
^ Ejemplos de demostraciones simples por inducción matemática para todos los números naturales
^ Prueba por inducción Archivado el 18 de febrero de 2012 en Wayback Machine , Glosario de terminología matemática de la Universidad de Warwick
^ Ver Teorema de los cuatro colores # Simplificación y verificación .
^ Davis, Philip J. (1972), "La fidelidad en el discurso matemático: ¿Es uno y uno realmente dos?" American Mathematical Monthly 79: 252–63.
^ Fallis, Don (1997), "El estado epistémico de la prueba probabilística". Journal of Philosophy 94: 165–86.
^ "en teoría de números y álgebra conmutativa ... en particular, la prueba estadística del lema". [1]
^ "Si la constante π (es decir, pi) es normal es un problema confuso sin ninguna demostración teórica estricta, excepto algunaprueba estadística " "(Uso despectivo) [2].
^ "estas observaciones sugieren una prueba estadística de la conjetura de Goldbach con una probabilidad de falla que desaparece muy rápidamente para E grandes" [3]
^ Mumford, David B .; Serie, Caroline ; Wright, David (2002). Perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-35253-6. ¿Qué hacer con las imágenes? Surgieron dos pensamientos: el primero fue que no se podían publicar en la forma estándar, no había teoremas, solo imágenes muy sugerentes. Proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y señuelos para una mayor exploración, pero los teoremas eran monedas del reino y las convenciones de ese día dictaban que las revistas solo publicaban teoremas.
^ "Una nota sobre la historia de los fractales" . Archivado desde el original el 15 de febrero de 2009. Mandelbrot, que trabaja en el Laboratorio de Investigación de IBM, hizo algunas simulaciones por computadora para estos conjuntos bajo la suposición razonable de que, si deseaba probar algo, podría ser útil conocer la respuesta con anticipación. .
^ Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). Presentamos la geometría fractal . Libros de iconos . ISBN 978-1-84046-123-7. ... trajo a casa de nuevo a Benoit [Mandelbrot] que había una 'matemática del ojo', que la visualización de un problema era un método tan válido como cualquier otro para encontrar una solución. Sorprendentemente, se encontró solo con esta conjetura. La enseñanza de las matemáticas en Francia estuvo dominada por un puñado de matemáticos dogmáticos que se escondían detrás del seudónimo de 'Bourbaki' ...
^ Herbst, Patricio G. (2002). "Establecimiento de una costumbre de probar en la geometría de la escuela estadounidense: evolución de la prueba de dos columnas a principios del siglo XX" (PDF) . Estudios Educativos en Matemáticas . 49 (3): 283–312. doi : 10.1023 / A: 1020264906740 . hdl : 2027,42 / 42653 . S2CID 23084607 .
^ Dr. Fisher Burns. "Introducción a la prueba de dos columnas" . onemathematicalcat.org . Consultado el 15 de octubre de 2009 .

Otras lecturas

Pólya, G. (1954), Matemáticas y razonamiento plausible , Princeton University Press, hdl : 2027 / mdp.39015008206248.
Fallis, Don (2002), "¿Qué quieren los matemáticos? Pruebas probabilísticas y las metas epistémicas de los matemáticos" , Logique et Analyze , 45 : 373-88..
Franklin, J .; Daoud, A. (2011), Prueba en matemáticas: una introducción , Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.
Oro, Bonnie ; Simons, Rogers A. (2008). Prueba y otros dilemas: matemáticas y filosofía . MAA.
Solow, D. (2004), Cómo leer y hacer pruebas: Introducción a los procesos de pensamiento matemático , Wiley , ISBN 978-0-471-68058-1.
Velleman, D. (2006), Cómo demostrarlo: un enfoque estructurado , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.

enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Prueba matemática

Busque pruebas en Wiktionary, el diccionario gratuito.

Medios relacionados con la prueba matemática en Wikimedia Commons
Pruebas en matemáticas: simple, encantador y falaz
Una lección sobre pruebas, en un curso de Wikiversity

[1] Bill Casselman . "Uno de los diagramas existentes más antiguos de Euclides" . Universidad de Columbia Británica . Consultado el 26 de septiembre de 2008 .

[2] Clapham, C. & Nicholson, JN The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Cuarta edición . Una declaración cuya verdad debe tomarse como evidente por sí misma o asumirse. Ciertas áreas de las matemáticas implican elegir un conjunto de axiomas y descubrir qué resultados se pueden derivar de ellos, proporcionando pruebas de los teoremas que se obtienen.

[nutsandbolts-3] Cupillari, Antonella (2005) [2001]. Las tuercas y tornillos de las pruebas: una introducción a las pruebas matemáticas (tercera ed.). Prensa académica . pag. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.

[4] Gossett, Eric (julio de 2009). Matemáticas discretas con prueba . John Wiley e hijos . pag. 86. ISBN 978-0470457931. Definición 3.1. Prueba: una definición informal

[:0-5] "El glosario definitivo de jerga matemática superior" . Bóveda de matemáticas . 1 de agosto de 2019 . Consultado el 20 de octubre de 2019 .

[6] "prueba" Nuevo diccionario inglés de Oxford más corto, 1993, OUP, Oxford.

[7] Hacking, Ian (1984) [1975]. La aparición de la probabilidad: un estudio filosófico de las primeras ideas sobre probabilidad, inducción e inferencia estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-31803-7.

[Krantz-8] La historia y el concepto de prueba matemática , Steven G. Krantz. 1. 5 de febrero de 2007

[9] Kneale, William ; Kneale, Martha (mayo de 1985) [1962]. El desarrollo de la lógica (Nueva ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.

[10] Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (febrero de 2015). "La génesis de la prueba en la antigua Grecia Las implicaciones pedagógicas de una lectura husserliana" . Archive ouverte HAL . Consultado el 20 de octubre de 2019 .

[11] Eves, Howard W. (enero de 1990) [1962]. Introducción a la historia de las matemáticas (Serie Saunders) (6ª ed.). Brooks / Cole . pag. 141. ISBN 978-0030295584. Ninguna obra, excepto La Biblia, se ha utilizado más ampliamente ...

[12] Matvievskaya, Galina (1987), "La teoría de los irracionales cuadráticos en las matemáticas orientales medievales", Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York , 500 (1): 253–77 [260], Bibcode : 1987NYASA.500..253M , doi : 10.1111 / j.1749-6632.1987.tb37206.x , S2CID 121416910

[13] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008

[14] Buss, Samuel R. (1998), "Una introducción a la teoría de la prueba", en Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137 , Elsevier, págs. 1 –78, ISBN 978-0-08-053318-6. Ver en particular la p. 3 : "El estudio de la teoría de la prueba está motivado tradicionalmente por el problema de formalizar las pruebas matemáticas; la formulación original de la lógica de primer orden de Frege [1879] fue el primer paso exitoso en esta dirección".

[15] Quine, Willard Van Orman (1961). "Dos dogmas del empirismo" (PDF) . Universität Zürich - Theologische Fakultät . pag. 12 . Consultado el 20 de octubre de 2019 .

[16] Cupillari, p. 20.

[17] Cupillari, p. 46.

[18] Ejemplos de demostraciones simples por inducción matemática para todos los números naturales

[19] Prueba por inducción Archivado el 18 de febrero de 2012 en Wayback Machine , Glosario de terminología matemática de la Universidad de Warwick

[20] Ver Teorema de los cuatro colores # Simplificación y verificación .

[21] Davis, Philip J. (1972), "La fidelidad en el discurso matemático: ¿Es uno y uno realmente dos?" American Mathematical Monthly 79: 252–63.

[22] Fallis, Don (1997), "El estado epistémico de la prueba probabilística". Journal of Philosophy 94: 165–86.

[23] "en teoría de números y álgebra conmutativa ... en particular, la prueba estadística del lema". [1]

[24] "Si la constante π (es decir, pi) es normal es un problema confuso sin ninguna demostración teórica estricta, excepto algunaprueba estadística " "(Uso despectivo) [2].

[25] "estas observaciones sugieren una prueba estadística de la conjetura de Goldbach con una probabilidad de falla que desaparece muy rápidamente para E grandes" [3]

[26] Mumford, David B .; Serie, Caroline ; Wright, David (2002). Perlas de Indra: la visión de Felix Klein . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-35253-6. ¿Qué hacer con las imágenes? Surgieron dos pensamientos: el primero fue que no se podían publicar en la forma estándar, no había teoremas, solo imágenes muy sugerentes. Proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y señuelos para una mayor exploración, pero los teoremas eran monedas del reino y las convenciones de ese día dictaban que las revistas solo publicaban teoremas.

[27] "Una nota sobre la historia de los fractales" . Archivado desde el original el 15 de febrero de 2009. Mandelbrot, que trabaja en el Laboratorio de Investigación de IBM, hizo algunas simulaciones por computadora para estos conjuntos bajo la suposición razonable de que, si deseaba probar algo, podría ser útil conocer la respuesta con anticipación. .

[28] Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). Presentamos la geometría fractal . Libros de iconos . ISBN 978-1-84046-123-7. ... trajo a casa de nuevo a Benoit [Mandelbrot] que había una 'matemática del ojo', que la visualización de un problema era un método tan válido como cualquier otro para encontrar una solución. Sorprendentemente, se encontró solo con esta conjetura. La enseñanza de las matemáticas en Francia estuvo dominada por un puñado de matemáticos dogmáticos que se escondían detrás del seudónimo de 'Bourbaki' ...

[29] Herbst, Patricio G. (2002). "Establecimiento de una costumbre de probar en la geometría de la escuela estadounidense: evolución de la prueba de dos columnas a principios del siglo XX" (PDF) . Estudios Educativos en Matemáticas . 49 (3): 283–312. doi : 10.1023 / A: 1020264906740 . hdl : 2027,42 / 42653 . S2CID 23084607 .

[30] Dr. Fisher Burns. "Introducción a la prueba de dos columnas" . onemathematicalcat.org . Consultado el 15 de octubre de 2009 .

[1]