En lógica , una clase pseudoelemental es una clase de estructuras derivadas de una clase elemental (una que se puede definir en la lógica de primer orden) omitiendo algunos de sus géneros y relaciones. Es la contraparte de la lógica matemática de la noción en la teoría de categorías de (el codominio de) un funtor olvidadizo , y en la física de las teorías de variables ocultas (hipotetizadas) que pretenden explicar la mecánica cuántica.. Las clases elementales son (vagamente) pseudoelementales pero lo contrario no siempre es cierto; sin embargo, las clases pseudoelementales comparten algunas de las propiedades de las clases elementales, como estar cerradas bajo ultraproductos .
Definición
Una clase pseudoelemental es una reducción de una clase elemental . Es decir, se obtiene omitiendo algunos de los géneros y relaciones de una clase elemental (de muchos ordenamientos).
Ejemplos de
- 1. La teoría con igualdad de conjuntos bajo unión e intersección, cuyas estructuras son de la forma ( W , ∪, ∩), puede entenderse ingenuamente como la clase pseudoelemental formada a partir de la clase elemental de estructuras de la forma ( A , W , ∪, ∩, ∈), donde ∈ ⊆ A × W y ∪ y ∩ son operaciones binarias ( qua relación ternaria) en W . La teoría de la última clase está axiomatizada por
- ∀ X, Y ∈ W .∀ un ∈ A . [ Un ∈ X ∪ Y ⇔ un ∈ X ∨ un ∈ Y ]
- ∀ X, Y ∈ W .∀ un ∈ A . [ Un ∈ X ∩ Y ⇔ un ∈ X ∧ un ∈ Y ]
- ∀ X, Y ∈ W . [(∀ un ∈ A . [ Un ∈ X ⇔ un ∈ Y ]) → X = Y ]
- En la interpretación pretendida, A es un conjunto de átomos a, b , ..., W es un conjunto de conjuntos de átomos X, Y, ... y ∈ es la relación de pertenencia entre átomos y conjuntos. Las consecuencias de estos axiomas incluyen todas las leyes de las redes distributivas . Dado que las últimas leyes no mencionan los átomos, siguen siendo significativas para las estructuras obtenidas de los modelos de la teoría anterior al omitir el tipo A de átomos y la relación de pertenencia ∈. Todas las celosías distributivas son representables como conjuntos de conjuntos bajo unión e intersección, de donde esta clase pseudoelemental es de hecho una clase elemental, es decir, la variedad de celosías distributivas.
- En este ejemplo, ambas clases (respectivamente antes y después de la omisión) son clases elementales finitamente axiomatizables. Pero mientras que el enfoque estándar para axiomatizar la última clase utiliza nueve ecuaciones para axiomatizar una red distributiva, la primera clase solo requiere los tres axiomas anteriores, lo que hace que sea más rápido definir la última clase como un reducto de la primera que directamente de la manera habitual.
- 2. La teoría con igualdad de relaciones binarias bajo unión R ∪ S , intersección R ∩ S , complemento R - , composición relacional R ; S , y el recíproco relacional R, cuyas estructuras son de la forma ( W , ∪, ∩, -,;,), puede entenderse como la clase pseudoelemental formada a partir de la clase elemental de estructuras de tres ordenadas de la forma ( A , P , W , ∪, ∩, -,;,, λ, ρ, π, ∈). La interpretación prevista de los tres tipos son átomos, pares de átomos y conjuntos de pares de átomos, π: A ×; A → P y λ, ρ: P → A son los constructores y destructores de apareamiento evidentes, y ∈ ⊆ P ×; W es la relación de pertenencia entre pares y relaciones (como conjuntos de pares). Por analogía con el ejemplo 1, las conectivas puramente relacionales definidas en W pueden axiomatizarse ingenuamente en términos de átomos y pares de átomos en la forma habitual de los textos introductorios. La teoría pura de relaciones binarias puede obtenerse entonces como la teoría de la clase pseudoelemental de reductos de modelos de esta clase elemental obtenida omitiendo los géneros de átomos y pares y todas las relaciones que involucran los géneros omitidos.
- En este ejemplo, ambas clases son elementales, pero sólo la primera clase es finitamente axiomatizable, aunque Tarski demostró en 1955 que la última clase (la reducida) era, no obstante, una variedad , a saber , RRA , las álgebras de relación representables .
- 3. Un anillo primitivo es una generalización de la noción de anillo simple . Es definible en lenguaje elemental (de primer orden) en términos de los elementos e ideales de un anillo, dando lugar a una clase elemental de estructuras de dos clases que comprenden anillos e ideales. La clase de anillos primitivos se obtiene de esta clase elemental omitiendo los géneros y el lenguaje asociados con los ideales y, por tanto, es una clase pseudoelemental.
- En este ejemplo, es una cuestión abierta si esta clase pseudoelemental es elemental.
- 4. La clase de campos cerrados exponencialmente es una clase pseudoelemental que no es elemental.
Aplicaciones
Una cuasivariedad definida lógicamente como la clase de modelos de una teoría de Horn universal puede definirse de manera equivalente algebraicamente como una clase de estructuras cerradas bajo isomorfismos , subálgebras y productos reducidos . Dado que la noción de producto reducido es más compleja que la de producto directo , a veces es útil combinar las caracterizaciones lógicas y algebraicas en términos de clases pseudoelementales. Una de esas definiciones combinadas caracteriza una cuasivariedad como una clase pseudoelemental cerrada bajo isomorfismos, subálgebras y productos directos (la propiedad pseudoelemental permite que "reducido" se simplifique a "directo").
Un corolario de esta caracterización es que se puede probar (de manera no constructiva) la existencia de una axiomatización universal de Horn de una clase axiomatizando primero alguna expansión de la estructura con géneros y relaciones auxiliares y luego mostrando que la clase pseudoelemental obtenida al descartar los constructos auxiliares es cerrado bajo subálgebras y productos directos. Esta técnica funciona para el Ejemplo 2 porque las subálgebras y los productos directos de las álgebras de relaciones binarias son en sí mismas álgebras de relaciones binarias, lo que muestra que la clase RRA de álgebras de relaciones representables es una cuasivariedad (y, a fortiori, una clase elemental). Esta breve prueba es una aplicación efectiva de absurdos abstractos ; el resultado más fuerte de Tarski de que RRA es de hecho una variedad requirió un esfuerzo más honesto.
Referencias
- Paul C. Eklof (1977), Ultraproducts for Algebraists, en Handbook of Mathematical Logic (ed. Jon Barwise ), North-Holland.