En álgebra abstracta , en particular en la teoría de formas cuadráticas no degeneradas en espacios vectoriales , las estructuras de las álgebras de Clifford complejas y reales de dimensión finita para una forma cuadrática no degenerada han sido completamente clasificadas. En cada caso, el álgebra de Clifford es el álgebra isomórfica a un anillo de matriz completo sobre R , C o H (los cuaterniones ), o a una suma directa de dos copias de dicho álgebra, aunque no en un formato canónico. camino. A continuación se muestra que distintas álgebras de Clifford pueden ser álgebra-isomórficas , como es el caso de Cl 2,0 ( R ) y Cl 1,1 ( R ), que son ambos isomorfos al anillo de matrices de dos por dos sobre los números reales.
Notación y convenciones
El producto de Clifford es el producto de anillo manifiesto para el álgebra de Clifford, y todos los homomorfismos de álgebra en este artículo son con respecto a este producto de anillo. Otros productos definidos dentro de las álgebras de Clifford, como el producto exterior , no se utilizan aquí. Este artículo utiliza la convención de signos (+) para la multiplicación de Clifford de modo que
para todos los vectores v ∈ V , donde Q es la forma cuadrática en el espacio vectorial V . Denotaremos el álgebra de n × n matrices con entradas en el álgebra de división K por M n ( K ) o M ( n , K ) . La suma directa de dos álgebras idénticas se denotará por M n ( K ) ⊕ M n ( K ) = M n 2 ( K ) , que es isomorfo a M n ( K ⊕ K ) .
Periodicidad de bott
Las álgebras de Clifford exhiben una periodicidad de 2 veces sobre los números complejos y una periodicidad de 8 veces sobre los números reales, que está relacionada con las mismas periodicidades para los grupos de homotopía del grupo unitario estable y el grupo ortogonal estable , y se llama periodicidad de Bott . La conexión se explica por el modelo geométrico de los espacios de bucle que se acercan a la periodicidad de Bott: sus incrustaciones periódicas de 2/8 veces de los grupos clásicos entre sí (correspondientes a los grupos de isomorfismo de las álgebras de Clifford), y sus cocientes sucesivos son espacios simétricos que son homotopía equivalente a los espacios de bucle del grupo unitario / ortogonal.
Caso complejo
El caso complejo es particularmente simple: toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo es equivalente a la forma diagonal estándar
donde n = dim V , por lo que esencialmente solo hay un álgebra de Clifford en cada dimensión. Esto se debe a que los números complejos incluyen por el cual y los términos positivos o negativos son equivalentes. Denotaremos el álgebra de Clifford en C n con la forma cuadrática estándar por Cl n ( C ).
Hay dos casos separados a considerar, según n sea par o impar. Cuando n es aún el álgebra Cl n ( C ) es central simple y así por el Artin-Wedderburn teorema es isomorfo a una matriz de álgebra sobre C . Cuando n es impar, el centro incluye no solo los escalares sino también los pseudoescalares ( elementos de grado n ). Siempre podemos encontrar un pseudoescalar normalizado ω tal que ω 2 = 1 . Definir los operadores
Estos dos operadores forman un conjunto completo de idempotentes ortogonales y, dado que son centrales, dan una descomposición de Cl n ( C ) en una suma directa de dos álgebras.
dónde
Las álgebras son solo los autoespacios positivos y negativos de ω y los P ± son solo los operadores de proyección. Dado que ω es impar, estas álgebras se mezclan con α (el mapa lineal en V definido por v ↦ - v ):
- .
y por lo tanto isomorfo (ya que α es un automorfismo ). Estos dos álgebras isomorfas son cada central simple y así, de nuevo, isomorfo a un álgebra de matrices sobre C . Los tamaños de las matrices se pueden determinar a partir del hecho de que la dimensión de Cl n ( C ) es 2 n . Lo que tenemos entonces es la siguiente tabla:
norte | Cl n ( C ) |
2 m | M (2 m , C ) |
2 m +1 | M (2 m , C ) ⊕ M (2 m , C ) |
La subálgebra par de Cl n ( C ) es (no canónicamente) isomórfica a Cl n −1 ( C ). Cuando n es par, la subálgebra par se puede identificar con las matrices diagonales de bloque (cuando se divide en una matriz de bloques de 2 × 2 ). Cuando n es impar, la subálgebra par son aquellos elementos de M (2 m , C ) ⊕ M (2 m , C ) para los cuales los dos factores son idénticos. Al elegir cualquiera de las piezas, se obtiene un isomorfismo con Cl n −1 ( C ) ≅ M (2 m , C ) .
Caso real
El caso real es significativamente más complicado, presenta una periodicidad de 8 en lugar de 2, y hay una familia de álgebras de Clifford de 2 parámetros.
Clasificación de formas cuadráticas
En primer lugar, existen formas cuadráticas no isomorfas de un grado dado, clasificadas por firma.
Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real es equivalente a la forma diagonal estándar:
donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de números enteros ( p , q ) se llama la firma de la forma cuadrática. El espacio vectorial real con esta forma cuadrática a menudo se denota R p , q . El álgebra de Clifford sobre R p , q se denota Cl p , q ( R ).
Una base ortonormal estándar { e i } para R p , q consta de n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales tienen norma +1 y q de los cuales tienen norma -1.
Unidad pseudoescalar
La unidad pseudoescalar en Cl p , q ( R ) se define como
Esto es tanto una especie de elemento Coxeter (producto de reflexiones) como un elemento más largo de un grupo Coxeter en la orden Bruhat ; esta es una analogía. Corresponde y generaliza una forma de volumen (en el álgebra exterior ; para la forma cuadrática trivial, la unidad pseudoescalar es una forma de volumen), y eleva la reflexión a través del origen (lo que significa que la imagen de la unidad pseudoescalar es la reflexión a través del origen, en el grupo ortogonal ).
Para calcular el cuadrado , uno puede revertir el orden del segundo grupo, produciendo , o aplique una mezcla perfecta , produciendo. Ambos tienen signo, que es 4-periódico ( prueba ), y combinado con, esto muestra que el cuadrado de ω está dado por
Tenga en cuenta que, a diferencia del caso complejo, no siempre es posible encontrar un pseudoescalar que cuadre a +1.
Centrar
Si n (equivalentemente, p - q ) es par, el álgebra Cl p , q ( R ) es central simple y, por lo tanto, isomorfo a un álgebra matricial sobre R o H según el teorema de Artin-Wedderburn .
Si n (equivalentemente, p - q ) es impar, entonces el álgebra ya no es central simple sino que tiene un centro que incluye tanto los pseudoescalares como los escalares. Si n es impar y ω 2 = +1 (equivalentemente, si p - q ≡ 1 (mod 4) ) entonces, al igual que en el caso complejo, el álgebra Cl p , q ( R ) se descompone en una suma directa de álgebras isomórficas
cada uno de los cuales es sencillo central y de modo isomorfo a álgebra de matrices sobre R o H .
Si n es impar y ω 2 = −1 (equivalentemente, si p - q ≡ −1 (mod 4) ) entonces el centro de Cl p , q ( R ) es isomorfo a C y puede considerarse como un álgebra compleja . Como un álgebra de complejo, es simple central y de modo isomorfo a un álgebra de matrices sobre C .
Clasificación
En total, hay tres propiedades que determinan la clase del álgebra Cl p , q ( R ):
- mod de firma 2: n es par / impar: central simple o no
- firma mod 4: ω 2 = ± 1 : si no central simple, el centro es R ⊕ R o C
- mod de firma 8: la clase Brauer del álgebra ( n par) o subálgebra par ( n impar) es R o H
Cada una de estas propiedades depende únicamente de la firma p - q módulo 8. A continuación se proporciona la tabla de clasificación completa. El tamaño de las matrices está determinado por el requisito de que Cl p , q ( R ) tengan dimensión 2 p + q .
p - q mod 8 | ω 2 | Cl p , q ( R ) ( n = p + q ) | p - q mod 8 | ω 2 | Cl p , q ( R ) ( n = p + q ) | |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | + | M (2 n / 2 , R ) | 1 | + | M (2 ( n −1) / 2 , R ) ⊕ M (2 ( n −1) / 2 , R ) | |
2 | - | M (2 n / 2 , R ) | 3 | - | M (2 ( n −1) / 2 , C ) | |
4 | + | M (2 ( n −2) / 2 , H ) | 5 | + | M (2 ( n −3) / 2 , H ) ⊕ M (2 ( n −3) / 2 , H ) | |
6 | - | M (2 ( n −2) / 2 , H ) | 7 | - | M (2 ( n −1) / 2 , C ) |
Puede verse que de todos los tipos de anillos de matriz mencionados, solo hay un tipo compartido entre las álgebras complejas y reales: el tipo M (2 m , C ). Por ejemplo, se determina que Cl 2 ( C ) y Cl 3,0 ( R ) son M 2 ( C ). Es importante señalar que existe una diferencia en los isomorfismos de clasificación utilizados. Dado que el Cl 2 ( C ) es álgebra isomorfo a través de un mapa C- lineal (que es necesariamente R- lineal), y Cl 3,0 ( R ) es álgebra isomorfo a través de un mapa R- lineal, Cl 2 ( C ) y Cl 3,0 ( R ) son R -algebra isomórfica.
A continuación se muestra una tabla de esta clasificación para p + q ≤ 8 . Aquí p + q corre verticalmente y p - q corre horizontalmente (por ejemplo, el álgebra Cl 1,3 ( R ) ≅ M 2 ( H ) se encuentra en la fila 4, columna -2).
8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 | −4 | −5 | −6 | −7 | −8 | |
0 | R | ||||||||||||||||
1 | R 2 | C | |||||||||||||||
2 | M 2 ( R ) | M 2 ( R ) | H | ||||||||||||||
3 | M 2 ( C ) | M 2 2 ( R ) | M 2 ( C ) | H 2 | |||||||||||||
4 | M 2 ( H ) | M 4 ( R ) | M 4 ( R ) | M 2 ( H ) | M 2 ( H ) | ||||||||||||
5 | M 2 2 ( H ) | M 4 ( C ) | M 4 2 ( R ) | M 4 ( C ) | M 2 2 ( H ) | M 4 ( C ) | |||||||||||
6 | M 4 ( H ) | M 4 ( H ) | M 8 ( R ) | M 8 ( R ) | M 4 ( H ) | M 4 ( H ) | M 8 ( R ) | ||||||||||
7 | M 8 ( C ) | M 4 2 ( H ) | M 8 ( C ) | M 8 2 ( R ) | M 8 ( C ) | M 4 2 ( H ) | M 8 ( C ) | M 8 2 ( R ) | |||||||||
8 | M 16 ( R ) | M 8 ( H ) | M 8 ( H ) | M 16 ( R ) | M 16 ( R ) | M 8 ( H ) | M 8 ( H ) | M 16 ( R ) | M 16 ( R ) | ||||||||
ω 2 | + | - | - | + | + | - | - | + | + | - | - | + | + | - | - | + | + |
Simetrías
Hay una maraña de simetrías y relaciones en la tabla anterior.
Pasar 4 puntos en cualquier fila produce un álgebra idéntica.
De estos Bott se sigue la periodicidad:
Si la firma satisface p - q ≡ 1 (mod 4) entonces
(La tabla es simétrica sobre columnas con firma ..., −7, −3, 1, 5, ...)
Por tanto, si la firma satisface p - q ≡ 1 (mod 4) ,
Ver también
- Álgebra de Dirac Cl 1,3 ( C )
- Álgebra de Pauli Cl 3,0 ( C )
- Álgebra del espacio-tiempo Cl 1,3 ( R )
- Módulo Clifford
- Representación de giro
Referencias
- Budinich, Paolo; Trautman, Andrzej (1988). El tablero de ajedrez Spinorial . Springer Verlag. ISBN 9783540190783.
- Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Gire la geometría . Serie matemática de Princeton. 38 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9781400883912.
- Porteous, Ian R. (1995). Álgebras de Clifford y los grupos clásicos . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 50 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55177-9.