En matemáticas , las series de Hahn (a veces también conocidas como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ) son un tipo de serie infinita formal. Son una generalización de las series de Puiseux (en sí mismas una generalización de las series formales de poder ) y fueron introducidas por primera vez por Hans Hahn en 1907 [1] (y luego generalizadas por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un escenario no conmutativo). Permiten exponentes arbitrarios de lo indeterminado siempre que el conjunto que los sustenta forme un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (típicamente o ). Las series de Hahn se introdujeron por primera vez, como grupos, en el curso de la demostración del teorema de inclusión de Hahn y luego las estudió como campos en su enfoque del decimoséptimo problema de Hilbert .
Formulación
El campo de la serie Hahn (en la T indeterminada ) sobre un campo K y con un grupo de valores Γ (un grupo ordenado) es el conjunto de expresiones formales de la forma
con tal que el apoyo de f está bien ordenado . La suma y el producto de
- y
son dadas por
y
(en este último, la suma sobre valores tal que y es finito porque un conjunto bien ordenado no puede contener una secuencia decreciente infinita).
Por ejemplo, es una serie de Hahn (sobre cualquier campo) porque el conjunto de racionales
está bien ordenado; no es una serie de Puiseux porque los denominadores de los exponentes son ilimitados. (Y si el campo base K tiene la característica p , entonces esta serie de Hahn satisface la ecuación entonces es algebraico sobre .)
Propiedades
Propiedades del campo valorado
La valoración de una serie de Hahn distinta de cero
se define como el más pequeño tal que (en otras palabras, el elemento más pequeño del apoyo de ): Esto hace en un campo valorado esféricamente completo con grupo de valores y campo de residuos (justificando a posteriori la terminología). De hecho, si tiene característica cero, entonces depende del isomorfismo (no único) el único campo valorado esféricamente completo con campo de residuo y grupo de valor . [2] La valoración define una topología en . Si, entonces v corresponde a un valor absoluto ultramétrico, con respecto al cual es un espacio métrico completo . Sin embargo, a diferencia del caso de las series formales de Laurent o de Puiseux, las sumas formales utilizadas para definir los elementos del campo no convergen: en el caso depor ejemplo, los valores absolutos de los términos tienden a 1 (porque sus valoraciones tienden a 0), por lo que la serie no es convergente (estas series a veces se conocen como "pseudoconvergentes" [3] ).
Propiedades algebraicas
Si K es algebraicamente cerrado (pero no necesariamente de característica cero) y Γ es divisible, entoncesestá algebraicamente cerrado. [4] Por lo tanto, el cierre algebraico de está contenido en , dónde es el cierre algebraico de (cuando K es de característica cero, es exactamente el campo de la serie de Puiseux ): de hecho, es posible dar una descripción algo análoga del cierre algebraico de en característica positiva como un subconjunto de . [5]
Si K es un campo ordenado, entoncesestá totalmente ordenado haciendo que el indeterminado T sea infinitesimal (mayor que 0 pero menor que cualquier elemento positivo de K ) o, de manera equivalente, usando el orden lexicográfico en los coeficientes de la serie. Si K es real-cerrado y Γ es divisible, entonceses en sí mismo realmente cerrado. [6] Este hecho se puede utilizar para analizar (o incluso construir) el campo de los números surrealistas (que es isomorfo, como un campo ordenado, al campo de las series de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores los números surrealistas mismos [7] ) .
Si κ es un cardinal regular infinito , se puede considerar el subconjunto de compuesto por series cuyo conjunto de soportes tiene cardinalidad (estrictamente) menor que κ : resulta que este es también un campo, con las mismas propiedades de cierre algebraico que el: por ejemplo, es algebraicamente cerrado o cerrado real cuando K es así y Γ es divisible. [8]
Familias sumables
Familias sumables
Se puede definir una noción de familias sumables en . Si es un conjunto y es una familia de la serie Hahn , entonces decimos que es sumable si el conjunto está bien ordenado, y cada conjunto por es finito.
Entonces podemos definir la suma como la serie de Hahn
.
Si son sumables, entonces también lo son las familias y tenemos [9]
y
.
Esta noción de familia sumable no se corresponde con la noción de convergencia en la topología de valoración en . Por ejemplo, en, la familia es sumable pero la secuencia no converge.
Evaluar funciones analíticas
Dejar
Si contiene , entonces podemos evaluar cada elemento de en cada elemento de de la forma , donde la valoración de es estrictamente positivo. De hecho, la familiaes siempre sumable, [10] por lo que podemos definir. Esto define un morfismo de anillo..
Serie de Hahn – Witt
La construcción de series de Hahn se puede combinar con vectores de Witt (al menos sobre un campo perfecto ) para formar series de Hahn retorcidas o series de Hahn-Witt : [11] por ejemplo, sobre un campo finito K de característica p (o su cierre algebraico) , el campo de la serie de Hahn-Witt con el grupo de valores Γ (que contiene los números enteros) sería el conjunto de sumas formales donde ahora son representantes de Teichmüller (de los elementos de K ) que se multiplican y suman de la misma forma que en el caso de los vectores Witt ordinarios (que se obtiene cuando Γ es el grupo de enteros). Cuando Γ es el grupo de racionales o reales y K es el cierre algebraico del campo finito con p elementos, esta construcción da un campo (ultra) métricamente completo algebraicamente cerrado que contiene los p -ádicos, de ahí una descripción más o menos explícita de la campoo su terminación esférica. [12]
Ejemplos de
- El campo de la serie formal de Laurent sobre se puede describir como .
- El campo de los números surrealistas se puede considerar como un campo de series de Hahn con coeficientes reales y grupos de valores de los propios números surrealistas. [13]
- El campo Levi-Civita se puede considerar como un subcampo de, con la imposición adicional de que los coeficientes sean un conjunto finito por la izquierda : el conjunto de coeficientes menores que un coeficiente dado es finito.
- El campo de las transseries es una unión dirigida de los campos de Hahn (y es una extensión del campo Levi-Civita). La construcción de se parece (pero no es literalmente) , .
Ver también
Notas
- ↑ Hahn (1907)
- ^ Kaplansky, Irving, Campos máximos con valoración , Duke Mathematical Journal, vol. 1, n ° 2, 1942.
- ^ Kaplansky (1942, Duke Math. J. , definición en la p. 303)
- ^ MacLane (1939, Bull. Amer. Math. Soc. , Teorema 1 (p.889))
- ^ Kedlaya (2001, Proc. Amer. Math. Soc. )
- ↑ Alling (1987, §6.23, (2) (p.218))
- ^ Alling (1987, teorema de §6.55 (p. 246))
- ↑ Alling (1987, §6.23, (3) y (4) (p.218-219))
- ^ Joris van der Hoeven
- ^ Neumann
- ^ Kedlaya (2001, J. Teoría de números )
- ↑ Poonen (1993)
- ↑ Alling (1987)
Referencias
- Hahn, Hans (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) , 116 : 601–655, JFM 38.0501 (reimpreso en: Hahn, Hans (1995), Gesammelte Abhandlungen I , Springer-Verlag)
- MacLane, Saunders (1939), "La universalidad de los campos formales de series de poder" , Boletín de la American Mathematical Society , 45 : 888–890, doi : 10.1090 / s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl 0022.30401
- Kaplansky, Irving (1942), "Campos máximos con valoraciones I" , Duke Mathematical Journal , 9 : 303–321, doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00922-0
- Alling, Norman L. (1987). Fundamentos del análisis sobre campos numéricos surrealistas . Estudios de Matemáticas. 141 . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70226-1. Zbl 0621.12001 .
- Poonen, Bjorn (1993), "Campos máximamente completos", L'Enseignement mathématique , 39 : 87–106, Zbl 0807.12006
- Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "El cierre algebraico del campo de la serie de potencias en característica positiva", Proceedings of the American Mathematical Society , 129 : 3461–3470, doi : 10.1090 / S0002-9939-01-06001-4
- Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "Power series and 𝑝-adic algebraic closures", Journal of Number Theory , 89 : 324–339, arXiv : math / 9906030 , doi : 10.1006 / jnth.2000.2630
- Hoeven, van der, Joris (2001), "Operadores en series de potencia generalizada", Illinois Journal of Mathematics , 45 , doi : 10.1215 / ijm / 1258138061
- Neumann, Bernhard Hermann (1949), "Sobre anillos de división ordenados", Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 202–252