En matemáticas financieras , la paridad put-call define una relación entre el precio de una opción call europea y una opción put europea , ambos con el mismo precio de ejercicio y vencimiento, es decir, que una cartera de una opción call larga y una opción put corta es equivalente a (y por lo tanto tiene el mismo valor que) un solo contrato a plazo a este precio de ejercicio y vencimiento. Esto se debe a que si el precio al vencimiento está por encima del precio de ejercicio, se ejercerá la opción call, mientras que si está por debajo, se ejercerá la opción put y, por lo tanto, en cualquier caso, se comprará una unidad del activo por el precio de ejercicio. exactamente como en un contrato a plazo.
La validez de esta relación requiere que se satisfagan ciertos supuestos; estos se especifican y la relación se deriva a continuación. En la práctica, los costos de transacción y los costos de financiamiento (apalancamiento) significan que esta relación no se mantendrá exactamente, pero en los mercados líquidos la relación es casi exacta.
Supuestos
La paridad put-call es una réplica estática y, por lo tanto, requiere supuestos mínimos, a saber, la existencia de un contrato a plazo . En ausencia de contratos a plazo negociados, el contrato a plazo puede ser reemplazado (de hecho, él mismo replicado) por la capacidad de comprar el activo subyacente y financiarlo tomando prestado a plazo fijo (p. Ej., Tomando prestados bonos), o por el contrario, tomando prestado y vendido ( corto) el activo subyacente y prestar el dinero recibido a plazo, dando en ambos casos una cartera de autofinanciamiento .
Estos supuestos no requieren ninguna transacción entre la fecha inicial y el vencimiento y, por lo tanto, son significativamente más débiles que los del modelo Black-Scholes , que requiere una replicación dinámica y una transacción continua en el subyacente.
La replicación asume que uno puede entrar en transacciones de derivados, lo que requiere apalancamiento (y costos de capital para respaldar esto), y la compra y venta implica costos de transacción , en particular el diferencial de oferta y demanda . Por lo tanto, la relación solo se mantiene exactamente en un mercado ideal sin fricciones con liquidez ilimitada. Sin embargo, los mercados del mundo real pueden ser lo suficientemente líquidos como para que la relación sea cercana a los mercados de divisas exactos, más significativamente, en las principales divisas o índices bursátiles importantes, en ausencia de turbulencias en el mercado.
Declaración
La paridad put-call se puede establecer de varias formas equivalentes, la mayoría de las veces como:
dónde es el valor (actual) de una llamada, es el valor (actual) de una venta, es el factor de descuento ,es el precio a plazo del activo, yes el precio de ejercicio. Tenga en cuenta que el precio al contado viene dado por(el precio spot es el valor presente, el precio a plazo es el valor futuro, el factor de descuento los relaciona). El lado izquierdo corresponde a una cartera de call larga y put corta, mientras que el lado derecho corresponde a un contrato forward. Los activos y en el lado izquierdo se dan en valores corrientes, mientras que los activos y se dan en valores futuros (precio a plazo del activo y precio de ejercicio pagado al vencimiento), que el factor de descuento se convierte a valores presentes.
Usando el precio al contado en lugar de precio a plazo rinde:
Reorganizar los términos produce una interpretación diferente:
En este caso, el lado izquierdo es un call fiduciario , que es un call largo y suficiente efectivo (o bonos) para pagar el precio de ejercicio si se ejerce el call, mientras que el lado derecho es un put de protección , que es largo. una opción de venta y el activo, por lo que el activo se puede vender por el precio de ejercicio si el lugar está por debajo del ejercicio al vencimiento. Ambas partes tienen un pago máximo ( S ( T ), K ) al vencimiento (es decir, al menos el precio de ejercicio, o el valor del activo si es mayor), lo que proporciona otra forma de probar o interpretar la paridad put-call.
Con más detalle, esta ecuación original se puede establecer como:
dónde
- es el valor de la llamada en el momento ,
- es el valor de la venta de la misma fecha de vencimiento,
- es el precio al contado del activo subyacente,
- es el precio de ejercicio y
- es el valor presente de un bono cupón cero que vence a $ 1 en el momento Este es el factor de valor presente de K.
Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación es también el precio de compra de un contrato a plazo en la bolsa con el precio de entrega K . Por lo tanto, una forma de leer la ecuación es que una cartera que es una compra larga y una venta corta es lo mismo que una apuesta larga hacia adelante. En particular, si el subyacente no es negociable pero existen contratos a plazo sobre él, podemos reemplazar la expresión del lado derecho por el precio de un contrato a plazo.
Si la tasa de interés del bono ,, se supone que es constante entonces
Nota: se refiere a la fuerza del interés , que es aproximadamente igual a la tasa anual efectiva para tasas de interés pequeñas. Sin embargo, se debe tener cuidado con la aproximación, especialmente con tasas más altas y períodos de tiempo más largos. Encontrar exactamente, usa , dónde es la tasa de interés anual efectiva.
Al valorar opciones europeas emitidas sobre acciones con dividendos conocidos que se pagarán durante la vida de la opción, la fórmula se convierte en:
donde D (t) representa el valor total de los dividendos de una acción a pagar durante la vida restante de las opciones, descontados al valor presente . Podemos reescribir la ecuación como:
y observe que el lado derecho es el precio de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega K , como antes.
Derivación
Supondremos que las opciones de compra y venta están sobre acciones negociadas, pero el subyacente puede ser cualquier otro activo negociable. La capacidad de comprar y vender el subyacente es crucial para el argumento de "no arbitraje" que se muestra a continuación.
Primero, observe que bajo el supuesto de que no hay oportunidades de arbitraje (los precios están libres de arbitraje ), dos carteras que siempre tienen el mismo pago en el momento T deben tener el mismo valor en cualquier momento anterior. Para probar esto, suponga que, en algún momento t antes de T , una cartera era más barata que la otra. Entonces uno podría comprar (ir en largo) la cartera más barata y vender (ir en corto) la más cara. En el momento T , nuestra cartera general, por cualquier valor del precio de la acción, tendría un valor cero (todos los activos y pasivos se han cancelado). La ganancia que obtuvimos en el momento t es, por lo tanto, una ganancia sin riesgo, pero esto viola nuestro supuesto de no arbitraje.
Derivaremos la relación de paridad put-call creando dos carteras con los mismos beneficios ( replicación estática ) e invocando el principio anterior ( precios racionales ).
Considere una opción de compra y una opción de venta con el mismo ejercicio K para el vencimiento en la misma fecha T en algunas acciones S , que no pagan dividendos. Asumimos la existencia de un vínculo que paga 1 dólar en el momento de vencimiento T . El precio del bono puede ser aleatorio (como las acciones) pero debe ser igual a 1 al vencimiento.
Sea S (t) el precio de S en el tiempo t. Ahora montar una cartera mediante la compra de una opción de compra C y venta de una opción de venta P del mismo vencimiento T y golpear K . La rentabilidad de esta cartera es S (T) - K . Ahora cree una segunda cartera comprando una acción y pidiendo prestados bonos K. Tenga en cuenta la rentabilidad de esta última cartera es también S (T) - K en el momento T , ya que nuestra cuota compró por S (t) tendrá un valor de S (T) y los bonos tomados tendrá un valor de K .
Según nuestra observación preliminar de que los pagos idénticos implican que ambas carteras deben tener el mismo precio en un momento general , existe la siguiente relación entre el valor de los distintos instrumentos:
Por lo tanto, sin oportunidades de arbitraje, la relación anterior, que se conoce como paridad put-call , se mantiene, y para tres precios cualesquiera de la opción call, put, bono y acción se puede calcular el precio implícito del cuarto.
En el caso de los dividendos, la fórmula modificada se puede derivar de manera similar a la anterior, pero con la modificación de que una cartera consiste en ir en largo con una opción de compra, en corto con una opción de venta y bonos D (T) que pagan 1 dólar cada uno al vencimiento. T (los bonos valdrán D (t) en el momento t ); Por otra cartera es la misma que antes - a largo comparten una de las acciones, cortos K bonos que cada uno paga 1 dólar a T . La diferencia es que en el momento T , la acción no solo vale S (T) sino que ha pagado D (T) en dividendos.
Historia
Las formas de paridad put-call aparecieron en la práctica ya en la Edad Media, y fueron descritas formalmente por varios autores a principios del siglo XX.
Michael Knoll, en The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage , describe el importante papel que desempeñó la paridad put-call en el desarrollo de la equidad de redención , la característica definitoria de una hipoteca moderna, en la Inglaterra medieval.
En el siglo XIX, el financiero Russell Sage utilizó la paridad put-call para crear préstamos sintéticos, que tenían tasas de interés más altas de lo que normalmente hubieran permitido las leyes de usura de la época. [ cita requerida ]
Nelson, un comerciante de arbitraje de opciones en Nueva York, publicó un libro: "El ABC de las opciones y el arbitraje" en 1904 que describe la paridad put-call en detalle. Su libro fue redescubierto por Espen Gaarder Haug a principios de la década de 2000 y muchas referencias del libro de Nelson se dan en el libro de Haug "Derivatives Models on Models".
Henry Deutsch describe la paridad put-call en 1910 en su libro "Arbitraje en lingotes, monedas, letras, acciones, acciones y opciones, segunda edición". Londres: Engham Wilson pero con menos detalles que Nelson (1904).
El profesor de matemáticas Vinzenz Bronzin también deriva la paridad put-call en 1908 y la usa como parte de su argumento de arbitraje para desarrollar una serie de modelos de opciones matemáticas bajo una serie de distribuciones diferentes. El trabajo del profesor Bronzin fue redescubierto recientemente por el profesor Wolfgang Hafner y el profesor Heinz Zimmermann. El trabajo original de Bronzin es un libro escrito en alemán y ahora está traducido y publicado en inglés en un trabajo editado por Hafner y Zimmermann ("Modelos de precios de opciones de Vinzenz Bronzin", Springer Verlag ).
Su primera descripción en la literatura académica moderna parece ser de Hans R. Stoll en el Journal of Finance . [1] [2]
Trascendencia
La paridad put-call implica:
- Equivalencia de opciones de compra y venta: la paridad implica que una opción de compra y venta se puede utilizar indistintamente en cualquier cartera delta-neutral . Si es el delta de la llamada, luego compra una llamada y vende acciones, es lo mismo que vender una opción put y vender de acciones. La equivalencia de opciones de compra y venta es muy importante cuando se negocian opciones. [ cita requerida ]
- Paridad de volatilidad implícita : en ausencia de dividendos u otros costos de acarreo (como cuando una acción es difícil de pedir prestada o vender en descubierto), la volatilidad implícita de las opciones de compra y venta debe ser idéntica. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Stoll, Hans R. (diciembre de 1969). "La relación entre los precios de las opciones de compra y venta". Revista de Finanzas . 24 (5): 801–824. doi : 10.2307 / 2325677 . JSTOR 2325677 .
- ^ Citado por ejemplo en Derman, Emanuel; Taleb, Nassim Nicholas (2005). "Las ilusiones de la replicación dinámica". Finanzas cuantitativas . 5: 4 (4): 323–326. doi : 10.1080 / 14697680500305105 .
- ^ Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5ª ed.). Prentice Hall . págs. 330–331 . ISBN 0-13-009056-5.
enlaces externos
- Paridad put-call
- Paridad put-call , tutorial de Salman Khan (educador)
- Paridad put-call de opciones europeas , putcallparity.net
- Oportunidad de arbitraje y paridad put-call , investopedia.com
- Las raíces antiguas de la innovación financiera moderna: la historia temprana del arbitraje regulatorio , la historia de Michael Knoll de paridad Put-Call
- Otras relaciones de arbitraje
- Relaciones de arbitraje para opciones , Prof. Thayer Watkins
- Reglas racionales y condiciones límite para la fijación de precios de opciones ( PDFDi ), Prof.Don M. Chance
- Límites de no arbitraje en las opciones , profesor Robert Novy-Marx
- Herramientas
- Relaciones de arbitraje de opciones , Prof.Campbell R. Harvey