Espacio cuasibarrelled

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios cuasibarrelizados son espacios vectoriales topológicos (TVS) para los cuales cada conjunto de barriles bornívoros en el espacio es un vecindario del origen. Los espacios cuasibarrelled se estudian porque son un debilitamiento de la condición definitoria de los espacios barreled , para lo cual se cumple una forma del teorema de Banach-Steinhaus .

Definición

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se llama bornívoro si absorbe todos los subconjuntos acotados de ; es decir, si para cada subconjunto acotado de existe algún escalar tal que A Barreled establece o un barril en una TVS es un conjunto que es convexa , equilibrada , que absorbe y cerrado . Un espacio cuasibarrelled es un televisor para el cual cada set de barril bornívoro en el espacio es un barrio del origen. ^{[1] [2]}${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S\subseteq rB.}$

Propiedades

Un espacio localmente convexo de Hausdorff casi en barriles que se completa secuencialmente tiene un barril. ^[3] Un espacio localmente convexo de Hausdorff cuasibarrelled es un espacio Mackey , cuasi-M-barril , y contablemente cuasibarrelled. ^[4] Un espacio localmente convexo de cuasi-barriles que también es un espacio de 𝜎 barriles es necesariamente un espacio de barriles . ^[2]

Un espacio localmente convexo es reflexivo si y solo si es semirreflexivo y cuasibarrelizado. ^[2]

Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es cuasibarrelizado si y solo si cada operador lineal cerrado acotado desde un TVS metrizable completo es continuo. ^[5] Por definición, un operador lineal se llama cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y.}$

Para un espacio localmente convexo con dual continuo, los siguientes son equivalentes:${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$ es cuasi-cañón.
2. Cada semi-norma semicontinua inferior acotada es continua.${\displaystyle X}$
3. Cada subconjunto delimitado del espacio dual continuo es equicontinuo.${\displaystyle \beta (X',X)}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es un TVS localmente convexo metrizable, los siguientes son equivalentes:${\displaystyle X}$

1. El fuerte dual de es cuasibarrelled.${\displaystyle X}$
2. El fuerte dual de tiene cañón.${\displaystyle X}$
3. El fuerte dual de es bornológico .${\displaystyle X}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada espacio de barril de Hausdorff y cada espacio bornológico de Hausdorff está cuasibarrelled. ^[6] Por lo tanto, todos los televisores metrizables tienen casi barras.

Tenga en cuenta que existen espacios cuasibarrelled que no son barreled ni bornológico. ^[2] Existen espacios Mackey que no son cuasibarrelled. ^[2] Existen espacios distinguidos , DF-espacios y espacios -barrelled que no están quasibarrelled. ^[2]${\displaystyle \sigma }$

El fuerte espacio dual de un espacio de Fréchet se distingue si y solo si está cuasibarrelizado. ^[7]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Contraejemplos

Existe un espacio DF que no está quasibarrelled. ^[2] Existe un espacio DF cuasibarrelizado que no es bornológico . ^[2] Existe un espacio de cuasi cañones que no es un espacio de 𝜎 cañones . ^[2]

Ver también

• Espacio en barril  : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
• Espacio con muchos barriles
• Espacio contable de cuasi barriles
• Espacio infrabarrelled
• Principio de delimitación uniforme # Generalizaciones

Referencias

1. Jarchow 1981 , p. 222.
2. Khaleelulla 1982 , págs. 28-63.
3. Khaleelulla 1982 , p. 28.
4. Khaleelulla 1982 , págs.35 .
5. Adasch, Ernst y Keim 1978 , p. 43.
6. Adasch, Ernst y Keim 1978 , págs. 70-73.
7. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)

Bibliografía

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