La noción matemática de cuasitransitividad es una versión debilitada de la transitividad que se utiliza en la teoría de la elección social y la microeconomía . De manera informal, una relación es cuasitransitiva si es simétrica para algunos valores y transitiva en otros. El concepto fue introducido por Sen (1969) para estudiar las consecuencias del teorema de Arrow .
Definicion formal
Una relación binaria T más de un conjunto X es quasitransitive si para todo un , b , y c en X se cumple lo siguiente:
Si la relación también es antisimétrica , T es transitiva.
Alternativamente, para una relación T, defina la parte asimétrica o "estricta" P:
Entonces T es cuasitransitivo si y solo si P es transitivo.
Ejemplos de
Se supone que las preferencias son cuasitransitivas (en lugar de transitivas) en algunos contextos económicos. El ejemplo clásico es una persona indiferente entre 7 y 8 gramos de azúcar e indiferente entre 8 y 9 gramos de azúcar, pero que prefiere 9 gramos de azúcar a 7. [1] De manera similar, la paradoja de Sorites puede resolverse debilitando la supuesta transitividad de ciertas relaciones con la cuasitransitividad.
Propiedades
- Una relación R es quasitransitive si, y sólo si, es la unión de la desunión de una relación simétrica J y una relación transitiva P . [2] J y P no están determinados de forma única por un R dado ; [3] sin embargo, la P de la parte sólo si es mínima. [4]
- Como consecuencia, cada relación simétrica es cuasitransitiva, y también lo es cada relación transitiva. [5] Además, una relación antisimétrica y cuasitransitiva es siempre transitiva. [6]
- La relación del ejemplo de azúcar anterior, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8) , (9,9)}, es cuasitransitivo, pero no transitivo.
- Una relación cuasitransitiva no necesita ser acíclica : para cada conjunto A no vacío , la relación universal A × A es cíclica y cuasitransitiva.
Ver también
Referencias
- ^ Robert Duncan Luce (abril de 1956). "Semiorders y una teoría de la discriminación de la utilidad" (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178-191. doi : 10.2307 / 1905751 . JSTOR 1905751 .Aquí: p.179; El ejemplo original de Luce consiste en 400 comparaciones (de tazas de café con diferentes cantidades de azúcar) en lugar de solo 2.
- ^ El nombre sigue a Bossert y Suzumura (2009) , p.2-3. - Para la parte sólo si , defina xJy como xRy ∧ yRx , y defina xPy como xRy ∧ ¬ yRx . - Para el caso de una parte, asume xRy ∧ ¬ yRx ∧ yRz ∧ ¬ ZRY sostiene. Entonces xPy y yPz , ya que xJy o yJz contradecirían ¬ yRx o ¬ zRy . Por tanto, xPz por transitividad, ¬ xJz por desunión , ¬ zJx por simetría. Por lo tanto, zRx implicaría zPx y, por transitividad, zPy , lo que contradice ¬ zRy . En total, esto prueba xRz ∧ ¬ zRx .
- ^ Por ejemplo, si R es una relación de equivalencia , J puede elegirse como la relación vacía , o como lapropia R , y P como su complemento.
- ^ Dado R , siempre que se cumple xRy ∧ ¬ yRx , el par ( x , y ) no puede pertenecer a la parte simétrica, sino que debe pertenecer a la parte transitiva.
- ^ Dado que la relación vacía es trivialmente tanto transitiva como simétrica.
- ^ La antisimetría de R obliga a J a ser coreflexivo ; por tanto, la unión de J y la P transitivaes de nuevo transitiva.
- Sen, A. (1969). "Cuasi-transitividad, elección racional y decisiones colectivas". Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393. doi : 10.2307 / 2296434 . JSTOR 2296434 . Zbl 0181.47302 .
- Frederic Schick (junio de 1969). "Prueba de Arrow y la lógica de la preferencia". Filosofía de la ciencia . 36 (2): 127-144. doi : 10.1086 / 288241 . JSTOR 186166 . S2CID 121427121 .
- Amartya K. Sen (1970). Elección colectiva y bienestar social . Holden-Day, Inc.
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