En matemáticas , las cuasi-bialgebras son una generalización de las bialgebras : fueron definidas por primera vez por el matemático ucraniano Vladimir Drinfeld en 1990. Una cuasi-bialgebra se diferencia de una bialgebra por tener la coasociatividad reemplazada por un elemento invertibleque controla la no coasociatividad . Una de sus propiedades clave es que la categoría correspondiente de módulos forma una categoría tensorial .
Definición
Una cuasi-bialgebra es un álgebra sobre un campo equipado con morfismos de álgebras
junto con elementos invertibles , y de manera que se mantengan las siguientes identidades:
Dónde y se llaman comultiplicación y recuento, y se denominan restricciones unitarias derecha e izquierda (resp.), y a veces se le llama asociador de Drinfeld . [1] : 369–376 Esta definición está construida de modo que la categoríaes una categoría tensorial bajo el producto tensorial de espacio vectorial habitual y, de hecho, esto se puede tomar como la definición en lugar de la lista de identidades anteriores. [1] : 368 Dado que muchas de las cuasi-bialgebras que aparecen "en la naturaleza" tienen restricciones unitarias triviales, es decir.la definición a veces se puede dar con este supuesto. [1] : 370 Tenga en cuenta que una bialgebra es solo una cuasi-bialgebra con restricciones triviales de unidad y asociatividad: y .
Cuasi-bialgebras trenzadas
Una cuasi-bialgebra trenzada (también llamada cuasi-bialgebra cuasi triangular ) es una cuasi-bialgebra cuya categoría tensorial correspondienteestá trenzado . De manera equivalente, por analogía con las bialgebras trenzadas , podemos construir una noción de matriz R universal que controla la no coconmutatividad de una cuasi bialgebra. La definición es la misma que en el caso de bialgebra trenzada excepto por complicaciones adicionales en las fórmulas causadas por la adición del asociador.
Proposición: una cuasibialgebraestá trenzado si tiene una matriz R universal , es decir, un elemento invertible de manera que las siguientes 3 identidades se mantengan:
Donde, para cada , es el monomio con en el th lugar, donde los números omitidos corresponden a la identidad en ese lugar. Finalmente, extendemos esto por linealidad a todos los. [1] : 371
Nuevamente, similar al caso de bialgebra trenzada , esta matriz R universal satisface (una versión no asociativa de) la ecuación de Yang-Baxter :
- [1] : 372
Retortijón
Dada una cuasi-bialgebra, se pueden generar más cuasi-bialgebras girando (de ahora en adelante asumiremos ).
Si es una cuasi-bialgebra y es un elemento invertible tal que , colocar
Entonces, el set es también una cuasi-bialgebra obtenida torciendo por F , que se llama transformación de giro o calibre . [1] : 373 Si era una cuasi-bialgebra trenzada con matriz R universal , entonces también lo es con matriz R universal (usando la notación de la sección anterior). [1] : 376 Sin embargo, la torsión de una bialgebra es sólo en general una cuasi-bialgebra. Los retorcimientos cumplen muchas propiedades esperadas. Por ejemplo, girando y entonces es equivalente a girar por y girando por luego recupera la cuasibialgebra original.
Las torsiones tienen la propiedad importante de que inducen equivalencias categóricas en la categoría tensorial de módulos:
Teorema: Sea, ser cuasi-bialgebras, que ser la torsión de por , y que exista un isomorfismo: . Entonces el functor tensorial inducido es una equivalencia de categoría tensorial entre y . Dónde. Además, sies un isomorfismo de cuasi-bialgebras trenzadas, entonces el functor inducido anterior es una equivalencia de categoría de tensor trenzado. [1] : 375–376
Uso
Las cuasi-bialgebras forman la base del estudio de las cuasi-álgebras de Hopf y, además, del estudio de los giros de Drinfeld y las representaciones en términos de matrices F asociadas con representaciones irreductibles de dimensión finita del álgebra cuántica afín . Las matrices F se pueden utilizar para factorizar la matriz R correspondiente . Esto conduce a aplicaciones en mecánica estadística , como álgebras afines cuánticas, y sus representaciones dan lugar a soluciones de la ecuación de Yang-Baxter , una condición de solvabilidad para varios modelos estadísticos, permitiendo deducir características del modelo a partir de su correspondiente álgebra afín cuántica. El estudio de matrices F se ha aplicado a modelos como el XXZ en el marco del Algebraico Bethe ansatz .
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Vladimir Drinfeld , álgebras Cuasi-Hopf , Leningrad Math J. 1 (1989), 1419-1457
- JM Maillet y J. Sánchez de Santos, Drinfeld Twists y Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Matemáticas. Soc. Transl. (2) Vol. 201 , 2000