Función de tasa

Función de probabilidad

En matemáticas , específicamente en la teoría de grandes desviaciones , una función de tasa es una función que se usa para cuantificar las probabilidades de eventos raros. Se requiere que tenga varias propiedades que ayuden en la formulación del principio de gran desviación . ^{[se necesita aclaración ]} En cierto sentido, el principio de gran desviación es un análogo de la convergencia débil de las medidas de probabilidad , pero tiene en cuenta qué tan bien se comportan los eventos raros.

Una función de tasa también se llama función Cramér , en honor al probabilista sueco Harald Cramér .

Definiciones

Función Rate Un extendió valor real- función I  :  X  → [0, + ∞] definida en un Hausdorff topológica espacio X se dice que es una función de velocidad si no es idénticamente + ∞ y es inferior semi-continua , es decir, todos los sub -conjuntos de nivel

${\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0}$

están cerrados en X . Si, además, son compactos , se dice que I es una buena función de tasa .

Se dice que una familia de medidas de probabilidad ( μ _δ ) _{δ  > 0} en X satisface el principio de gran desviación con la función de tasa I  :  X  → [0, + ∞) (y tasa 1 ⁄  δ ) si, para cada conjunto cerrado F  ⊆  X y todo conjunto abierto G  ⊆  X ,

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}$

Si el límite superior (U) se cumple solo para conjuntos F compactos (en lugar de cerrados) , entonces se dice que ( μ _δ ) _{δ > 0} satisface el principio de desviaciones grandes débiles (con tasa 1 ⁄  δ y función de tasa débil I ).

Observaciones

El papel de los conjuntos abierto y cerrado en el principio de gran desviación es similar a su papel en la convergencia débil de las medidas de probabilidad: recuerde que ( μ _δ ) _{δ  > 0} se dice que converge débilmente a μ si, para cada conjunto cerrado F  ⊆  X y todo conjunto abierto G  ⊆  X ,

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}$

Existe alguna variación en la nomenclatura utilizada en la literatura: por ejemplo, den Hollander (2000) usa simplemente "función de tasa" donde este artículo, siguiendo a Dembo y Zeitouni (1998), usa "función de tasa buena" y "función de tasa débil". ". Independientemente de la nomenclatura utilizada para las funciones de tasa, el examen de si se supone que la desigualdad del límite superior (U) se cumple para conjuntos cerrados o compactos nos dice si el principio de gran desviación en uso es fuerte o débil.

Propiedades

Unicidad

Una pregunta natural, dada la configuración algo abstracta del marco general anterior, es si la función de tasa es única. Este resulta ser el caso: dada una secuencia de medidas de probabilidad ( μ _δ ) _{δ > 0} en X que satisface el principio de gran desviación para dos funciones de tasa I y J , se sigue que I ( x ) =  J ( x ) para todos x  ∈  X .

Estanqueidad exponencial

Es posible convertir un principio de gran desviación débil en uno fuerte si las medidas convergen con la suficiente rapidez. Si el límite superior es válido para conjuntos compactos F y la secuencia de medidas ( mu _δ ) _{δ > 0} es exponencialmente apretado , entonces el límite superior también se cumple para conjuntos cerrados F . En otras palabras, la estanqueidad exponencial permite convertir un principio de gran desviación débil en uno fuerte.

Continuidad

Ingenuamente, uno podría intentar reemplazar las dos desigualdades (U) y (L) por el único requisito de que, para todos los conjuntos de Borel S  ⊆  X ,

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}$

La igualdad (E) es demasiado restrictiva, ya que muchos ejemplos interesantes satisfacen (U) y (L) pero no (E). Por ejemplo, la medida μ _δ podría ser no atómica para todo δ , por lo que la igualdad (E) podría ser válida para S  = { x } solo si yo fuera idénticamente + ∞, lo cual no está permitido en la definición. Sin embargo, las desigualdades (U) y (L) hacen suponer la igualdad (E) para la llamada I -Evaluación continua conjuntos S  ⊆  X , aquellos para los cuales

${\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}$

donde y denotan el interior y el cierre de S en X respectivamente. En muchos ejemplos, muchos sistemas / eventos de interés son que -Evaluación continua. Por ejemplo, si I es una función continua , entonces todos los conjuntos S tales que${\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}$${\displaystyle {\bar {S}}}$

${\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}$

son lo -Evaluación continua; todos los conjuntos abiertos, por ejemplo, satisfacen esta contención.

Transformación de principios de grandes desviaciones

Dado un principio de gran desviación en un espacio, a menudo es interesante poder construir un principio de gran desviación en otro espacio. Hay varios resultados en esta área:

• el principio de la contracción dice a uno cómo un gran principio de la desviación en un espacio "empuja hacia adelante" (a través de la pushforward de una medida de probabilidad) a un principio gran desviación en otro espacio a través de una función continua ;
• el teorema de Dawson-Gärtner nos dice cómo una secuencia de principios de gran desviación en una secuencia de espacios pasa al límite proyectivo .
• el principio de gran desviación inclinada da un principio de gran desviación para integrales de funcionales exponenciales .
• Las medidas exponencialmente equivalentes tienen los mismos principios de grandes desviaciones.

Historia y desarrollo básico

La noción de una función de tasa surgió en la década de 1930 con el estudio del matemático sueco Harald Cramér de una secuencia de iid variables aleatorias ( Z _i ) _i∈ℕ . Es decir, entre algunas consideraciones de escala, Cramér estudió el comportamiento de la distribución del promedio cuando n → ∞. ^[1] Encontró que las colas de la distribución de X _n decaen exponencialmente como e ^{- nλ ( x )} donde el factor λ ( x ) en el exponente es la transformada de Legendre-Fenchel (también conocida como el conjugado convexo${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$) de la función generadora de acumuladores Por esta razón, esta función particular λ ( x ) a veces se denomina función de Cramér . La función de tasa definida anteriormente en este artículo es una amplia generalización de esta noción de Cramér, definida de manera más abstracta en un espacio de probabilidad , en lugar del espacio de estados de una variable aleatoria.${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}$

Ver también

• Teoría del valor extremo

Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Junio ​​de 2012 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Referencias

1. Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Coloque consacré à la théorie des probabilités, Parte 3, Actualités scientifiques et industrielles (en francés). 731 : 5-23.

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Técnicas y aplicaciones de grandes desviaciones . Applications of Mathematics (Nueva York) 38 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. xvi + 396. ISBN 0-387-98406-2. Señor 1619036
• den Hollander, Frank (2000). Grandes desviaciones . Monografías del Fields Institute 14. Providence, RI: American Mathematical Society . pag. x + 143. ISBN 0-8218-1989-5. Señor 1739680