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La gráfica de una función polinomial de grado 3

En matemáticas , un polinomio es una expresión que consta de variables (también llamadas indeterminadas ) y coeficientes , que involucra solo las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación de variables enteras no negativas . Un ejemplo de un polinomio de un único indeterminado x es x 2 - 4 x + 7 . Un ejemplo de tres variables es x 3 + 2 xyz 2 - yz+ 1 .

Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinomiales , que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas de palabras elementales hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinomiales , que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales ; se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos polinomiales y variedades algebraicas., que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica .

Etimología

La palabra polinomio une dos raíces diversas : el griego poly , que significa "muchos", y el latín nomen , o nombre. Se derivó del término binomio reemplazando la raíz latina bi- por la griega poly- . La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII. [1]

Notación y terminología

La x que aparece en un polinomio se denomina comúnmente variable o indeterminado . Cuando el polinomio se considera una expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, entonces x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores usan estas dos palabras indistintamente.

Es común usar letras mayúsculas para indeterminados y letras minúsculas correspondientes para las variables (o argumentos) de la función asociada. [ cita requerida ]

Un polinomio P en la x indeterminada se denota comúnmente como P o como P ( x ). Formalmente, el nombre del polinomio es P , no P ( x ), pero el uso de la notación funcional P ( x ) data de una época en la que la distinción entre un polinomio y la función asociada no estaba clara. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P ( x ) un polinomio" es una forma abreviada de "sea Pser un polinomio en el indeterminado x ". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el (los) nombre (s) del (los) indeterminado (s) no aparecen en cada aparición del polinomio.

La ambigüedad de tener dos notaciones para un solo objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si un denota un número, una variable, otro polinomio, o, más generalmente, cualquier expresión, entonces P ( a ) denota, por convención, el resultado de la sustitución de un para x en P . Así, el polinomio P define la función

que es la función polinómica asociado a P . Con frecuencia, cuando se usa esta notación, se supone que a es un número. Sin embargo, se puede usar en cualquier dominio donde se definan la suma y la multiplicación (es decir, cualquier anillo ). En particular, si a es un polinomio, entonces P ( a ) también es un polinomio.

Más específicamente, cuando a es la x indeterminada , entonces la imagen de x por esta función es el polinomio P mismo (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras,

lo que justifica formalmente la existencia de dos notaciones para el mismo polinomio.

Definición

Un polinomio es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminados mediante suma , multiplicación y exponenciación a una potencia entera no negativa . Dos de estas expresiones que pueden transformarse, una a la otra, aplicando las propiedades habituales de conmutatividad , asociatividad y distributividad de suma y multiplicación, se considera que definen el mismo polinomio.

Un polinomio en una sola x indeterminada siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma

donde son constantes y es lo indeterminado. [2] [3] La palabra "indeterminado" significa queno representa ningún valor en particular, aunque cualquier valor puede ser sustituido por él. El mapeo que asocia el resultado de esta sustitución al valor sustituido es una función , llamada función polinomial .

Esto se puede expresar de manera más concisa mediante el uso de la notación de suma :

Es decir, un polinomio puede ser cero o puede escribirse como la suma de un número finito de términos distintos de cero . Cada término consiste en el producto de un número, llamado coeficiente del término [a]  , y un número finito de indeterminados, elevado a potencias enteras no negativas.

Clasificación

El exponente de un indeterminado en un término se llama el grado de ese indeterminado en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el grado más grande de cualquier término con coeficiente distinto de cero. [4] Como x = x 1 , el grado de un indeterminado sin un exponente escrito es uno.

Un término sin indeterminados y un polinomio sin indeterminados se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante . [b] El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene términos) generalmente se trata como no definido (pero ver más abajo). [5]

Por ejemplo:

es un término. El coeficiente es -5 , los indeterminados son x y y , el grado de x es de dos, mientras que el grado de y es uno. El grado del término completo es la suma de los grados de cada indeterminado en él, por lo que en este ejemplo el grado es 2 + 1 = 3 .

Formar una suma de varios términos produce un polinomio. Por ejemplo, lo siguiente es un polinomio:

Consta de tres términos: el primero es el grado dos, el segundo es el grado uno y el tercero es el grado cero.

A los polinomios de pequeño grado se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante o simplemente una constante . Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos . [4] Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio cuartico (para el grado cuatro) y polinomio quintico (para el grado cinco). Los nombres de los grados pueden aplicarse al polinomio o sus términos. Por ejemplo, el término 2 x en x 2 + 2 x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.

El polinomio 0, que puede considerarse que no tiene términos en absoluto, se llama polinomio cero . A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero se deja explícitamente indefinido o se define como negativo (−1 o −∞). [6] El polinomio cero también es único porque es el único polinomio en un indeterminado que tiene un número infinito de raíces . La gráfica del polinomio cero, f ( x ) = 0 , es el eje x .

En el caso de polinomios en más de un indeterminado, un polinomio se llama homogéneo de grado n si todos sus términos distintos de cero tienen grado n . El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado es indefinido. [c] Por ejemplo, x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 - 3 x 5 es homogéneo de grado 5. Para obtener más detalles, consulte Polinomio homogéneo .

La ley conmutativa de la adición se puede utilizar para reorganizar los términos en cualquier orden preferido. En polinomios con uno indeterminado, los términos suelen ordenarse según el grado, ya sea en "potencias descendentes de x ", con el término de mayor grado primero, o en "potencias ascendentes de x ". El polinomio 3 x 2 - 5 x + 4 se escribe en potencias descendentes de x . El primer término tiene coeficiente 3 , x indeterminado y exponente 2 . En el segundo término, el coeficiente es −5 . El tercer término es una constante. Porque el gradode un polinomio distinto de cero es el grado más grande de cualquier término, este polinomio tiene grado dos. [7]

Dos términos con los mismos indeterminados elevados a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos similares", y pueden combinarse, utilizando la ley distributiva , en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que fueron combinados. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. [8] Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se llama monomio , [d] un polinomio de dos términos se llama binomio y un polinomio de tres términos se llama trinomio . El término "cuadrinomio" se usa ocasionalmente para un polinomio de cuatro términos.

Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales . Cuando se usa para definir una función , el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinomial real es una función de los reales a los reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos .

Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariante , un polinomio en más de un indeterminado se llama polinomio multivariado . Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariado . [3] Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que se trabaja generalmente que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado en absoluto. Es posible clasificar los polinomios multivariados como bivariados , trivariados, y así sucesivamente, según el número máximo de indeterminados permitidos. Una vez más, para que el conjunto de objetos en consideración se cierre por sustracción, un estudio de polinomios trivariados generalmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x , y y z ", enumerando los indeterminados permitidos.

La evaluación de un polinomio consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas. Para polinomios en un indeterminado, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner :

Aritmética

Suma y resta

Los polinomios se pueden agregar usando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente seguida de un reordenamiento (usando la ley conmutativa ) y la combinación de términos similares. [8] [9] Por ejemplo, si

y

entonces la suma

se puede reordenar y reagrupar como

y luego simplificado a

Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio. [10]

La resta de polinomios es similar.

Multiplicación

Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, la ley distributiva se aplica repetidamente, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. [8] Por ejemplo, si

luego

Realizar la multiplicación en cada término produce

Combinando términos similares rendimientos

que se puede simplificar a

Como en el ejemplo, el producto de polinomios es siempre un polinomio. [10] [5]

Composición

Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. [5] Por ejemplo, si y luego

Una composición se puede expandir a una suma de términos usando las reglas para la multiplicación y división de polinomios. La composición de dos polinomios es otro polinomio. [11]

División

La división de un polinomio por otro no suele ser un polinomio. En su lugar, estas relaciones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales , o funciones racionales , dependiendo del contexto. [12] Esto es análogo al hecho de que la razón de dos enteros es un número racional , no necesariamente un entero. [13] [14] Por ejemplo, la fracción 1 / ( x 2 + 1) no es un polinomio y no se puede escribir como una suma finita de potencias de la variable x .

Para polinomios en una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios , generalizando la división euclidiana de números enteros. [e] Esta noción de la división a ( x ) / b ( x ) da como resultado dos polinomios, un cociente q ( x ) y un resto r ( x ) , tales que a = b q + r y grado ( r ) < grado ( b ). El cociente y el resto pueden calcularse mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división polinomial larga y la división sintética . [15]

Cuando el denominador b ( x ) es monico y lineal, es decir, b ( x ) = x - c para alguna constante c , entonces el teorema del resto polinomial afirma que el resto de la división de a ( x ) por b ( x ) es la evaluación a ( c ) . [14] En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética. [dieciséis]

Factoring

Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los números enteros o un campo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del campo de números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen el grado uno o dos. Sobre los enteros y los números racionales, los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. [17] Por ejemplo, la forma factorizada de

es

sobre los enteros y los reales y

sobre los números complejos.

El cálculo de la forma factorizada, llamado factorización , es, en general, demasiado difícil de realizar mediante cálculo escrito a mano. Sin embargo, la mayoría de los sistemas de álgebra computacional disponen de algoritmos eficientes de factorización de polinomios .

Cálculo

Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio

con respecto ax es el polinomio
De manera similar, la antiderivada general (o integral indefinida) de es
donde c es una constante arbitraria. Por ejemplo, las antiderivadas de x 2 + 1 tienen la forma1/3x 3 + x + c .

Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p , o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada aún se puede interpretar formalmente, con el coeficiente ka k entendido como significa la suma de k copias de un k . Por ejemplo, sobre los números enteros módulo p , la derivada del polinomio x p + x es el polinomio 1 . [18]

Funciones polinomiales

Una función polinomial es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinomial si existe un polinomio

que evalúa a para todo x en el dominio de f (aquí, n es un número entero no negativo y a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n son coeficientes constantes). Generalmente, a menos que se especifique lo contrario, las funciones polinomiales tienen coeficientes, argumentos y valores complejos . En particular, un polinomio, restringido a tener coeficientes reales, define una función desde los números complejos hasta los números complejos. Si el dominio de esta función también está restringido a los reales, la función resultante es una función real que asigna los reales a los reales.

Por ejemplo, la función f , definida por

es una función polinomial de una variable. Las funciones polinomiales de varias variables se definen de manera similar, utilizando polinomios en más de un indeterminado, como en

De acuerdo con la definición de funciones polinomiales, puede haber expresiones que obviamente no son polinomios pero sin embargo definen funciones polinomiales. Un ejemplo es la expresión que toma los mismos valores que el polinomio en el intervalo , y así ambas expresiones definen la misma función polinomial en este intervalo.

Cada función polinomial es continua , uniforme y completa .

Gráficos

  • Polinomio de grado 0:
    f ( x ) = 2

  • Polinomio de grado 1:
    f ( x ) = 2 x + 1

  • Polinomio de grado 2:
    f ( x ) = x 2 - x - 2
    = ( x + 1) ( x - 2)

  • Polinomio de grado 3:
    f ( x ) = x 3 /4 + 3 x 2 /4 - 3 x / 2 - 2
    = 1/4 ( x + 4) ( x + 1) ( x - 2)

  • Polinomio de grado 4:
    f ( x ) = 1/14 ( x + 4) ( x + 1) ( x - 1) ( x - 3)
    + 0.5

  • Polinomio de grado 5:
    f ( x ) = 1/20 ( x + 4) ( x + 2) ( x + 1) ( x - 1)
    ( x - 3) + 2

  • Polinomio de grado 6:
    f ( x ) = 1/100 ( x 6 - 2 x 5 - 26 x 4 + 28 x 3
    + 145 x 2 - 26 x - 80)

  • Polinomio de grado 7:
    f ( x ) = ( x - 3) ( x - 2) ( x - 1) ( x ) ( x + 1) ( x + 2)
    ( x + 3)

Una función polinomial en una variable real se puede representar mediante una gráfica .

  • La gráfica del polinomio cero
    f ( x ) = 0
    es el eje x .
  • La gráfica de un polinomio de grado 0
    f ( x ) = a 0 , donde a 0 ≠ 0 ,
    es una línea horizontal con intersección en y a 0
  • La gráfica de un polinomio de grado 1 (o función lineal)
    f ( x ) = a 0 + a 1 x , donde a 1 ≠ 0 ,
    es una línea oblicua con intersección en y a 0 y pendiente a 1 .
  • La gráfica de un polinomio de grado 2
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , donde a 2 ≠ 0
    es una parábola .
  • La gráfica de un polinomio de grado 3
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , donde a 3 ≠ 0
    es una curva cúbica .
  • La gráfica de cualquier polinomio con grado 2 o mayor
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , donde a n ≠ 0 y n ≥ 2
    es una curva continua no lineal.

Una función polinomial no constante tiende a infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es superior a uno, la gráfica no tiene asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positiva y otra para x negativa ).

Los gráficos polinomiales se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento de los extremos.

Ecuaciones

Una ecuación polinomial , también llamada ecuación algebraica , es una ecuación de la forma [19]

Por ejemplo,

es una ecuación polinomial.

Al considerar ecuaciones, los indeterminados (variables) de los polinomios también se denominan incógnitas , y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es verdadera (en general, puede existir más de una solución). Una ecuación polinomial contrasta con una identidad polinomial como ( x + y ) ( x - y ) = x 2 - y 2 , donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en diferentes formas y, como consecuencia, cualquier evaluación de ambos miembros da una igualdad válida.

En álgebra elemental , se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado en una variable. También hay fórmulas para las ecuaciones cúbica y cuártica . Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en radicales. Sin embargo, se pueden usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinomial de cualquier grado.

El número de soluciones de una ecuación polinomial con coeficientes reales no puede exceder el grado y es igual al grado cuando las soluciones complejas se cuentan con su multiplicidad . Este hecho se denomina teorema fundamental del álgebra .

Resolver ecuaciones

Todo polinomio P en x define una función llamada función polinomial asociada a P ; la ecuación P ( x ) = 0 es la ecuación polinómica asociado a P . Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces del polinomio o ceros de la función asociada (corresponden a los puntos donde la gráfica de la función se encuentra con el eje x ).

Un número a es una raíz de un polinomio P si y sólo si el lineal polinomio x - un divide P , que es si hay otro polinomio Q tal que P = ( x - un ) Q . Puede suceder que x - a divida P más de una vez: si ( x - a ) 2 divide P, entonces a se llama raíz múltiple de P , y en caso contrario aque se llama una raíz sencilla de P . Si P es un polinomio distinto de cero, hay una mayor potencia m tal que ( x - un ) m divide P , que se llama la multiplicidad de la raíz una en P . Cuando P es el polinomio cero, la ecuación polinomial correspondiente es trivial, y este caso generalmente se excluye al considerar raíces, ya que, con las definiciones anteriores, cada número es una raíz del polinomio cero, con una multiplicidad indefinida. Con esta excepción hecha, el número de raíces de P, Incluso contado con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P . [20] La relación entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces se describe mediante las fórmulas de Vieta .

Algunos polinomios, como x 2 + 1 , no tienen raíces entre los números reales . Sin embargo, si el conjunto de soluciones aceptadas se expande a los números complejos , cada polinomio no constante tiene al menos una raíz; este es el teorema fundamental del álgebra . Al dividir sucesivamente los factores x - a , se ve que cualquier polinomio con coeficientes complejos se puede escribir como una constante (su coeficiente principal) multiplicado por un producto de tales factores polinomiales de grado 1; como consecuencia, el número de raíces (complejas) contadas con sus multiplicidades es exactamente igual al grado del polinomio.

Puede haber varios significados de "resolver una ecuación". Es posible que desee expresar las soluciones como números explícitos; por ejemplo, la única solución de 2 x - 1 = 0 es 1/2 . Desafortunadamente, esto es, en general, imposible para ecuaciones de grado mayor que uno y, desde la antigüedad, los matemáticos han buscado expresar las soluciones como expresión algebraica ; por ejemplo la proporción áurea es la única solución positiva de En la antigüedad, solo tuvieron éxito en los grados uno y dos. Para ecuaciones cuadráticas , la fórmula cuadrática proporciona tales expresiones de las soluciones. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas similares (que usan raíces cúbicas además de raíces cuadradas), pero mucho más complicadas, para las ecuaciones de grado tres y cuatro (ver ecuación cúbica y ecuación cuártica ). Pero las fórmulas para el grado 5 y superior eludieron a los investigadores durante varios siglos. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el sorprendente resultado de que hay ecuaciones de grado 5 cuyas soluciones no pueden expresarse mediante una fórmula (finita), que involucra sólo operaciones aritméticas y radicales (ver el teorema de Abel-Ruffini ). En 1830,Évariste Galois demostró que la mayoría de las ecuaciones de grado superior a cuatro no se pueden resolver con radicales y demostró que para cada ecuación se puede decidir si se puede resolver con radicales y, si lo es, resolverlo. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois y la teoría de grupos , dos ramas importantes del álgebra moderna . El propio Galois notó que los cálculos implícitos en su método eran impracticables. Sin embargo, se han publicado fórmulas para ecuaciones solubles de grados 5 y 6 (ver función quíntica y ecuación séxtica ).

Cuando no hay una expresión algebraica para las raíces, y cuando tal expresión algebraica existe pero es demasiado complicada para ser útil, la forma única de resolver es calcular aproximaciones numéricas de las soluciones. [21] Hay muchos métodos para eso; algunos están restringidos a polinomios y otros pueden aplicarse a cualquier función continua . Los algoritmos más eficientes permiten resolver fácilmente (en una computadora ) ecuaciones polinómicas de grado superior a 1000 (ver algoritmo de búsqueda de raíces ).

Para polinomios en más de un indeterminado, las combinaciones de valores para las variables para las cuales la función polinomial toma el valor cero generalmente se llaman ceros en lugar de "raíces". El estudio de los conjuntos de ceros de polinomios es objeto de la geometría algebraica . Para un conjunto de ecuaciones polinomiales en varias incógnitas, existen algoritmos para decidir si tienen un número finito de soluciones complejas y, si este número es finito, para calcular las soluciones. Ver Sistema de ecuaciones polinomiales .

El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se denomina sistema de ecuaciones lineales , para el cual existe otra gama de métodos de solución diferentes , incluida la eliminación gaussiana clásica .

Una ecuación polinomial para la que uno está interesado solo en las soluciones que son números enteros se llama ecuación diofántica . Resolver ecuaciones diofánticas es generalmente una tarea muy difícil. Se ha demostrado que no puede haber ningún algoritmo general para resolverlos, e incluso para decidir si el conjunto de soluciones está vacío (ver el décimo problema de Hilbert ). Algunos de los problemas más famosos que se han resuelto durante los últimos cincuenta años están relacionados con las ecuaciones diofánticas, como el último teorema de Fermat .

Generalizaciones

Hay varias generalizaciones del concepto de polinomios.

Polinomios trigonométricos

Un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de funciones sin ( nx ) y cos ( nx ) con n tomando los valores de uno o más números naturales . [22] Los coeficientes pueden tomarse como números reales, para funciones con valores reales.

Si sin ( nx ) y cos ( nx ) se expanden en términos de sin ( x ) y cos ( x ), un polinomio trigonométrico se convierte en un polinomio en las dos variables sin ( x ) y cos ( x ) (usando Lista de identidades trigonométricas # Fórmulas de múltiples ángulos ). A la inversa, cada polinomio en sin ( x ) y cos ( x ) se puede convertir, con identidades de producto a suma , en una combinación lineal de funciones sin ( nx ) y cos ( nx ). Esta equivalencia explica por qué las combinaciones lineales se llaman polinomios.

Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie finita de Fourier .

Los polinomios trigonométricos se utilizan ampliamente, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada discreta de Fourier .

Polinomios matriciales

Un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. [23] Dado un polinomio ordinario con valores escalares

este polinomio evaluado en una matriz A es

donde yo es la matriz de identidad . [24]

Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad de polinomio de matriz es una ecuación de polinomio de matriz que se aplica a todas las matrices A en un anillo de matriz especificado M n ( R ).

Polinomios de Laurent

Los polinomios de Laurent son como polinomios, pero permiten que ocurran potencias negativas de la (s) variable (s).

Funciones racionales

Una fracción racional es el cociente ( fracción algebraica ) de dos polinomios. Cualquier expresión algebraica que pueda reescribirse como fracción racional es una función racional .

Mientras que las funciones polinomiales se definen para todos los valores de las variables, una función racional se define solo para los valores de las variables para las que el denominador no es cero.

Las fracciones racionales incluyen los polinomios de Laurent, pero no limitan los denominadores a potencias de un indeterminado.

Power series

Las series formales de potencias son como polinomios, pero permiten que ocurran una cantidad infinita de términos distintos de cero, por lo que no tienen un grado finito. A diferencia de los polinomios, en general, no se pueden escribir de forma explícita y completa (al igual que los números irracionales ), pero las reglas para manipular sus términos son las mismas que para los polinomios. Las series de potencias no formales también generalizan polinomios, pero la multiplicación de dos series de potencias puede no converger.

Otros ejemplos

Un polinomio bivariado en el que la segunda variable se sustituye por una función exponencial aplicada a la primera variable, por ejemplo, P ( x , e x ) , puede denominarse polinomio exponencial .

Aplicaciones

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta , se distingue entre polinomios y funciones polinomiales . Un polinomio f en una x indeterminada sobre un anillo R se define como una expresión formal de la forma

donde n es un número natural, los coeficientes de un 0 ,. . ., a n son elementos de R , yx es un símbolo formal, cuyas potencias x i son solo marcadores de posición para los coeficientes correspondientes a i , de modo que la expresión formal dada es solo una forma de codificar la secuencia ( a 0 , a 1 ,...) , donde hay una n tal que a i = 0 para todo i > n . Dos polinomios que comparten el mismo valor den se consideran iguales si y solo si las secuencias de sus coeficientes son iguales; además, cualquier polinomio es igual a cualquier polinomio con mayor valor de n obtenido de él sumando términos al frente cuyo coeficiente es cero. Estos polinomios se pueden sumar simplemente agregando los coeficientes correspondientes (la regla para extender por términos con coeficientes cero se puede usar para asegurarse de que existan tales coeficientes). Por tanto, cada polinomio es en realidad igual a la suma de los términos utilizados en su expresión formal, si dicho término a i x i se interpreta como un polinomio que tiene coeficientes cero en todas las potencias de x distintas de x i . Luego, para definir la multiplicación, basta conley distributiva para describir el producto de dos términos cualesquiera, que viene dada por la regla

  para todos los elementos a , b del anillo R y todos los números naturales k y l .

Así, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el anillo R forma a sí mismo un anillo, el anillo de polinomios sobre R , que se denota por R [ x ] . El mapa de R a R [ x ] que envía r a rx 0 es un homomorfismo inyectivo de anillos, por el cual R se ve como un subanillo de R [ x ] . Si R es conmutativo , entonces R [ x ] es un álgebrasobre R .

Se puede pensar que el anillo R [ x ] surge de R agregando un nuevo elemento x a R , y extendiéndose de manera mínima a un anillo en el que x no satisface otras relaciones que las obligatorias, más la conmutación con todos los elementos de R (que es xr = rx ). Para hacer esto, uno debe sumar todas las potencias de x y sus combinaciones lineales también.

La formación del anillo polinomial, junto con los anillos de factor de formación al factorizar los ideales , son herramientas importantes para construir nuevos anillos a partir de los conocidos. Por ejemplo, el anillo (de hecho, el campo) de números complejos, que se puede construir a partir del anillo polinomial R [ x ] sobre los números reales factorizando el ideal de múltiplos del polinomio x 2 + 1 . Otro ejemplo es la construcción de campos finitos , que procede de manera similar, comenzando con el campo de números enteros módulo algún número primo como el anillo de coeficientes R (ver aritmética modular ).

Si R es conmutativo, entonces uno puede asociar con cada polinomio P en R [ x ] un polinomio función f con dominio y rango igual a R . (Más generalmente, uno puede tomar dominio y el rango para ser cualquier mismo unital álgebra asociativa sobre R .) Se obtiene el valor de f ( r ) por sustitución del valor r por el símbolo x en P. Una razón para distinguir entre polinomios y funciones polinomiales es que, en algunos anillos, diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma función polinomial (ver el pequeño teorema de Fermat para ver un ejemplo en el que R son los números enteros módulo p ). Este no es el caso cuando R son números reales o complejos, por lo que los dos conceptos no siempre se distinguen en el análisis . Una razón aún más importante para distinguir entre polinomios y funciones polinomiales es que muchas operaciones sobre polinomios (como la división euclidiana ) requieren observar de qué está compuesto un polinomio como una expresión en lugar de evaluarlo en algún valor constante de x .

Divisibilidad

En álgebra conmutativa , un foco principal de estudio es la divisibilidad entre polinomios. Si R es un dominio de integridad y f y g son polinomios en R [ x ] , se dice que f divide g o f es un divisor de g si existe un polinomio q en R [ x ] tal que f q = g . Se puede demostrar que todo cero da lugar a un divisor lineal, o más formalmente, si fes un polinomio en R [ x ] y r es un elemento de R tal que f ( r ) = 0 , entonces el polinomio ( x - r ) divide f . Lo contrario también es cierto. El cociente se puede calcular utilizando la división larga del polinomio . [25] [26]

Si F es un campo y f y g son polinomios en F [ x ] con g ≠ 0 , entonces existen polinomios único q y r en F [ x ] con

y tal que el grado de r sea ​​menor que el grado de g (usando la convención de que el polinomio 0 tiene un grado negativo). Los polinomios de q y r se determinan de forma única por f y g . Esto se llama división euclidiana , división con resto o división larga polinomial y muestra que el anillo F [ x ] es un dominio euclidiano .

De manera análoga, los polinomios primos (más correctamente, polinomios irreducibles ) se pueden definir como polinomios distintos de cero que no se pueden factorizar en el producto de dos polinomios no constantes . En el caso de coeficientes en un anillo, "no constante" debe ser reemplazado por "no constante o no unitario " (ambas definiciones concuerdan en el caso de coeficientes en un campo). Cualquier polinomio puede descomponerse en el producto de una constante invertible por un producto de polinomios irreducibles. Si los coeficientes pertenecen a un campo o un dominio de factorización únicoesta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de cualquier factor no unitario por una unidad (y la división del factor unitario por la misma unidad). Cuando los coeficientes pertenecen a números enteros, números racionales o un campo finito, existen algoritmos para probar la irreductibilidad y calcular la factorización en polinomios irreducibles (ver Factorización de polinomios ). Estos algoritmos no son practicables para la computación escrita a mano, pero están disponibles en cualquier sistema de álgebra computacional . El criterio de Eisenstein también se puede utilizar en algunos casos para determinar la irreductibilidad.

Notación posicional

En los sistemas de números posicionales modernos, como el sistema decimal , los dígitos y sus posiciones en la representación de un número entero, por ejemplo, 45, son una notación abreviada de un polinomio en la raíz o base, en este caso, 4 × 10 1 + 5 × 10 0 . Como otro ejemplo, en la base 5, una cadena de dígitos como 132 denota el número (decimal) 1 × 5 2 + 3 × 5 1 + 2 × 5 0 = 42. Esta representación es única. Sea b un número entero positivo mayor que 1. Entonces, todo número entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma

donde m es un número entero no negativo y las r son números enteros tales que

0 < r m < b y 0 ≤ r i < b para i = 0, 1,. . . , m - 1 . [27]

Interpolación y aproximación

La estructura simple de las funciones polinomiales las hace muy útiles para analizar funciones generales usando aproximaciones polinomiales. Un ejemplo importante en cálculo es el teorema de Taylor , que establece aproximadamente que cada función diferenciable localmente se parece a una función polinomial, y el teorema de Stone-Weierstrass , que establece que toda función continua definida en un intervalo compacto del eje real se puede aproximar en el intervalo completo tan cerca como lo desee una función polinomial. Los métodos prácticos de aproximación incluyen la interpolación polinómica y el uso de splines . [28]

Otras aplicaciones

Los polinomios se utilizan con frecuencia para codificar información sobre algún otro objeto. El polinomio característico de una matriz u operador lineal contiene información sobre los valores propios del operador . El polinomio mínimo de un elemento algebraico registra la relación algebraica más simple satisfecha por ese elemento. El polinomio cromático de un gráfico cuenta el número de colores adecuados de ese gráfico.

El término "polinomio", como adjetivo, también se puede utilizar para cantidades o funciones que se pueden escribir en forma polinomial. Por ejemplo, en la teoría de la complejidad computacional, la frase tiempo polinomial significa que el tiempo que lleva completar un algoritmo está limitado por una función polinomial de alguna variable, como el tamaño de la entrada.

Historia

Determinar las raíces de polinomios, o "resolver ecuaciones algebraicas", es uno de los problemas más antiguos de las matemáticas. Sin embargo, la notación elegante y práctica que usamos hoy solo se desarrolló a partir del siglo XV. Antes de eso, las ecuaciones se escribían con palabras. Por ejemplo, un problema de álgebra de la aritmética china en nueve secciones , alrededor del año 200 a. C., comienza: "Tres gajos de buena cosecha, dos gajos de cosecha mediocre y una gavilla de mala cosecha se venden por 29 dou". Escribiríamos 3 x + 2 y + z = 29 .

Historia de la notación

El primer uso conocido del signo igual se encuentra en Robert Recorde 's la piedra de afilar de Witte , 1557. Los signos + para la suma, - para la resta, y el uso de una carta para un desconocido aparecer en Michael Stifel ' s Arithemetica Integra , 1544 . René Descartes , en la géométrie , 1637, introdujo el concepto de la gráfica de una ecuación polinómica. Popularizó el uso de letras del principio del alfabeto para denotar constantes y letras del final del alfabeto para denotar variables, como se puede ver arriba, en la fórmula general para un polinomio en una variable, donde las a denotan constantes y xdenota una variable. Descartes también introdujo el uso de superíndices para denotar exponentes. [29]

Ver también

  • Lista de temas polinomiales
  • Descomposición polinomial
  • Secuencia polinomial
  • Transformación polinomial  : transformación de un polinomio inducida por una transformación de sus raíces.
  • Mapeo polinomial  : función tal que las coordenadas de la imagen de un punto son funciones polinomiales de las coordenadas del punto

Notas

  1. ^ Consulte "polinomio" y "binomio", Diccionario de inglés compacto de Oxford
  2. ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
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  1. ^ El coeficiente de un término puede ser cualquier número de un conjunto específico. Si ese conjunto es el conjunto de números reales, hablamos de "polinomios sobre los reales". Otros tipos comunes de polinomios son polinomios con coeficientes enteros, polinomios con coeficientes complejos y polinomios con coeficientes que son números enteros módulo algún número primo p .
  2. ^ Esta terminología data de la época en que no era clara la distinción entre un polinomio y la función que define: un término constante y un polinomio constante definen funciones constantes . [ cita requerida ]
  3. ^ De hecho, como función homogénea , es homogénea en todos los grados. [ cita requerida ]
  4. ^ Algunos autores utilizan "monomio" para significar " mónico monomio". Véase Knapp, Anthony W. (2007). Álgebra avanzada: junto con un volumen complementario de álgebra básica . Saltador. pag. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9.
  5. ^ Este párrafo asume que los polinomios tienen coeficientes en un campo .

Referencias

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Enlaces externos

  • "Polinomio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • "Investigaciones de Euler sobre las raíces de las ecuaciones" . Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2012.