En mecánica de fluidos y astrofísica , las ecuaciones relativistas de Euler son una generalización de las ecuaciones de Euler que dan cuenta de los efectos de la relatividad general . Tienen aplicaciones en astrofísica de altas energías y relatividad numérica , donde se utilizan comúnmente para describir fenómenos como gamma- estallidos de rayos , fenómenos de acreción y estrellas de neutrones , a menudo con la adición de un campo magnético . [1] Nota: para mantener la coherencia con la literatura, este artículo utiliza unidades naturales, a saber, la velocidad de la luz y la convención de suma de Einstein .
Motivación
Para la mayoría de los fluidos observables en la Tierra, la mecánica de fluidos tradicional basada en la mecánica newtoniana es suficiente. Sin embargo, a medida que la velocidad del fluido se acerca a la velocidad de la luz o se mueve a través de campos gravitacionales fuertes, o la presión se acerca a la densidad de energía (), estas ecuaciones ya no son válidas. [2] Estas situaciones ocurren con frecuencia en aplicaciones astrofísicas. Por ejemplo, las ráfagas de rayos gamma a menudo solo presentan velocidadesmenor que la velocidad de la luz, [3] y las estrellas de neutrones presentan campos gravitacionales que son más deveces más fuerte que la de la Tierra. [4] En estas circunstancias extremas, solo un tratamiento relativista de los fluidos será suficiente.
Introducción
Las ecuaciones de movimiento están contenidas en la ecuación de continuidad del tensor esfuerzo-energía :
dónde es la derivada covariante . [5] Para un fluido perfecto ,
Aquí es la densidad total de masa-energía (incluida la masa en reposo y la densidad de energía interna) del fluido, es la presión del fluido ,es la cuatro velocidades del fluido, yes el tensor métrico . [2] A las ecuaciones anteriores, generalmente se agrega una declaración de conservación , generalmente conservación del número bariónico . Sies la densidad numérica de bariones, esto puede indicarse
Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones clásicas de Euler si la tres velocidades del fluido es mucho menor que la velocidad de la luz, la presión es mucho menor que la densidad de energía y esta última está dominada por la densidad de masa en reposo. También se agrega una ecuación de estado , como un gas ideal o un gas de Fermi . [1]
Ecuaciones de movimiento en espacio plano
En el caso de un espacio plano, eso es y usando una firma métrica de, las ecuaciones de movimiento son, [6]
Dónde es la densidad de energía del sistema, con siendo la presión, y siendo las cuatro velocidades del sistema.
Expandiendo las sumas y ecuaciones, tenemos, (usando como derivado material )
Entonces, recogiendo Para observar el comportamiento de la velocidad en sí, vemos que las ecuaciones de movimiento se vuelven
Tenga en cuenta que tomando el límite no relativista, tenemos . Esto dice que la [ aclaración necesaria ] del sistema está dominada por la energía en reposo del fluido en cuestión.
En este límite, tenemos y , y podemos ver que devolvemos la ecuación de Euler de .
Derivación de las ecuaciones de movimiento
Para determinar las ecuaciones de movimiento, aprovechamos la siguiente condición del tensor de proyección espacial:
Demostramos esto mirando y luego multiplicar cada lado por . Al hacer esto, y notar que, tenemos . Reetiquetar los índices como muestra que los dos se cancelan por completo. Esta cancelación es el resultado esperado de contraer un tensor temporal con un tensor espacial.
Ahora, cuando notamos que
Donde hemos definido implícitamente que .
Podemos calcular eso
Y por lo tanto
Entonces, observemos el hecho de que y . Tenga en cuenta que la segunda identidad se deriva de la primera. Bajo estas simplificaciones, encontramos que
Y así por , tenemos
Tenemos dos cancelaciones y, por lo tanto, nos quedamos con
Ver también
Referencias
- ↑ a b Rezzolla, L. (Luciano) (14 de junio de 2018). Hidrodinámica relativista . Zanotti, Olindo. Oxford. ISBN 978-0-19-880759-9. OCLC 1044938862 .
- ^ a b Thorne, Kip S .; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 719–720. ISBN 9780691159027.
- ^ Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (julio de 2001). "Límites inferiores de los factores de Lorentz en estallidos de rayos gamma". El diario astrofísico . 555 (1): 540–545. arXiv : astro-ph / 0011508 . Código bibliográfico : 2001ApJ ... 555..540L . doi : 10.1086 / 321455 . S2CID 228707 .
- ^ Una introducción al sol y las estrellas . Green, SF, Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn. (Coedición ed.). Cambridge: Universidad Abierta. 2004. ISBN 0-521-83737-5. OCLC 54663723 .CS1 maint: otros ( enlace )
- ^ Schutz, Bernard (2009). Un primer curso de relatividad general . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521887052.
- ^ Lifshitz, LD; Landau, EM (1987). Mecánica de fluidos (2ª ed.). Elsevier. pag. 508. ISBN 0-7506-2767-0.