Correspondencia de Riemann-Hilbert

En matemáticas, el término correspondencia de Riemann-Hilbert se refiere a la correspondencia entre conexiones planas singulares regulares en paquetes de vectores algebraicos y representaciones del grupo fundamental, y más generalmente a una de varias generalizaciones de este. El escenario original que aparece en el vigésimo primer problema de Hilbert fue para la esfera de Riemann, donde se trataba de la existencia de sistemas de ecuaciones diferenciales regulares lineales con representaciones monodromías prescritas . Primero, la esfera de Riemann puede ser reemplazada por una superficie de Riemann arbitraria y luego, en dimensiones más altas, las superficies de Riemann son reemplazadas por variedades complejas.de dimensión> 1. Existe una correspondencia entre ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (lineales y con propiedades muy especiales para sus soluciones) y posibles monodromías de sus soluciones.

Este resultado fue probado para conexiones algebraicas con singularidades regulares por Pierre Deligne (1970, generalizando el trabajo existente en el caso de superficies de Riemann) y más generalmente para módulos D holonómicos regulares por Masaki Kashiwara (1980, 1984) y Zoghman Mebkhout (1980, pág . 1984) de forma independiente. En el contexto de la teoría de Hodge no beliana , la correspondencia de Riemann-Hilbert proporciona un isomorfismo analítico complejo entre dos de las tres estructuras algebraicas naturales en los espacios de módulos, por lo que se ve naturalmente como un análogo nobeliano del isomorfismo de comparación entre la cohomología de De Rham y el isomorfismo singular. / Cohomología de Betti.

Declaración

Suponga que X es una variedad algebraica compleja suave.

Correspondencia de Riemann-Hilbert (para conexiones singulares regulares): hay un funtor Sol llamado funtor de soluciones locales, que es una equivalencia de la categoría de conexiones planas en paquetes de vectores algebraicos en X con singularidades regulares a la categoría de sistemas locales de finito- espacios dimensionales de vector complejo en X . Para X conectada, la categoría de los sistemas locales es también equivalente a la categoría de representaciones complejas del grupo fundamental de X . Por tanto, tales conexiones dan una forma puramente algebraica de acceder a las representaciones de dimensión finita del grupo fundamental topológico.

La condición de los medios singularidades regulares que las secciones localmente constantes del haz (con respecto a la conexión plana) tienen un crecimiento moderado en los puntos de Y - X , en donde Y es un compactificación algebraica de X . En particular, cuando X es compacto, la condición de singularidades regulares es vacía.

De manera más general, existe el

Correspondencia Riemann-Hilbert (para D-módulos holonómicos regulares): hay un funtor DR llama el de Rham funtor, que es una equivalencia de la categoría de holonómicos D-módulos en X con singularidades regulares a la categoría de poleas perjudiciales en X .

Al considerar los elementos irreductibles de cada categoría, esto da una correspondencia 1: 1 entre las clases de isomorfismo de

• módulos D holonómicos irreducibles en X con singularidades regulares,

y

• intersección cohomología complejos de subvariedades cerradas irreductibles de X con coeficientes en sistemas locales irreducibles .

Un módulo D es algo así como un sistema de ecuaciones diferenciales en X , y un sistema local en una subvariedad es algo así como una descripción de posibles monodromías, por lo que se puede pensar que esta correspondencia describe ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales en términos de las monodromías. de sus soluciones.

En el caso de que X tenga dimensión uno (una curva algebraica compleja), entonces hay una correspondencia de Riemann-Hilbert más general para conexiones algebraicas sin suposición de regularidad (o para módulos D holonómicos sin suposición de regularidad) descrita en Malgrange (1991), la Correspondencia Riemann-Hilbert-Birkhoff .

Ejemplos de

Un ejemplo donde se aplica el teorema es la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}={\frac {a}{z}}f}$

en la línea afín perforada A ¹  - {0} (es decir, en los números complejos distintos de cero C - {0}). Aquí a es un número complejo fijo. Esta ecuación tiene singularidades regulares en 0 y ∞ en la línea proyectiva P ¹ . Las soluciones locales de la ecuación son de la forma cz ^a para constantes c . Si a no es un número entero, entonces la función z ^a no puede definirse bien en todo C - {0}. Eso significa que la ecuación tiene una monodromía no trivial. Explícitamente, la monodromía de esta ecuación es la representación unidimensional del grupo fundamentalπ ₁ ( A ¹  - {0}) =  Z en el que el generador (un bucle alrededor del origen) actúa multiplicando por e ^{2 π ia} .

Para ver la necesidad de la hipótesis de singularidades regulares, considere la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$

en la línea afín A ¹ (es decir, en los números complejos C ). Esta ecuación corresponde a una conexión plana en el paquete de líneas algebraicas trivial sobre A ¹ . Las soluciones de la ecuación tienen la forma ce ^z para las constantes c . Dado que estas soluciones no tienen crecimiento polinomial en algunos sectores alrededor del punto ∞ en la línea proyectiva P ¹ , la ecuación no tiene singularidades regulares en ∞. (Esto también se puede ver reescribiendo la ecuación en términos de la variable w  : = 1 / z , donde se convierte en

${\displaystyle {\frac {df}{dw}}=-{\frac {1}{w^{2}}}f.}$

El polo de orden 2 en los coeficientes significa que la ecuación no tiene singularidades regulares en w = 0, según el teorema de Fuchs ).

Puesto que las funciones ce ^z se definen en la línea de toda afín A ¹ , la monodromía de esta conexión plana es trivial. Pero esta conexión plana no es isomórfica a la conexión plana obvia en el paquete de líneas trivial sobre A ¹ (como un paquete de vectores algebraicos con conexión plana), porque sus soluciones no tienen un crecimiento moderado en ∞. Esto muestra la necesidad de restringir las conexiones planas con singularidades regulares en la correspondencia de Riemann-Hilbert. Por otro lado, si trabajamos con paquetes de vectores holomórficos (en lugar de algebraicos) con conexión plana en una variedad compleja no compacta como A ¹ = C, entonces la noción de singularidades regulares no está definida. Un teorema mucho más elemental que la correspondencia de Riemann-Hilbert establece que las conexiones planas en los haces de vectores holomórficos están determinadas hasta el isomorfismo por su monodromía.

En característica p

Para esquemas de característica p > 0, Bhatt y Lurie (2019) establecer una correspondencia de Riemann-Hilbert que afirma en particular que cohomología étale de gavillas étalé con Z / p -coefficients se puede calcular en términos de la acción del endomorfismo de Frobenius sobre coherente cohomología .

Ver también

• Problema de Riemann-Hilbert

Referencias

• Bhatt, Bhargav; Lurie, Jacob (2019), "Una correspondencia de Riemann-Hilbert en característica positiva", Cambridge Journal of Mathematics , 7 (1-2): 71-217, arXiv : 1711.04148 , doi : 10.4310 / CJM.2019.v7.n1. a3 , MR  3.922.360 , S2CID  119147066
• Dimca, Alexandru, Sheaves in Topology , págs. 206–207 (Proporciona una representación explícita de la correspondencia de Riemann-Hilbert para la fibra de Milnor de singularidad de hipersuperficie aislada)
• Borel, Armand (1987), Módulos D algebraicos , Perspectivas en matemáticas, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9, MR  0882000
• Deligne, Pierre (1970), Équations différentielles à points singuliers réguliers , Lecture Notes in Mathematics, 163 , Springer-Verlag , ISBN 3540051902, MR  0417174 , OCLC  169357
• Kashiwara, Masaki (1980), "Faisceaux constructibles et systèmes holonômes d'équations aux dérivées partielles linéaires à points singuliers réguliers", Séminaire Goulaouic-Schwartz, 1979-1980, Exposé 19 , Palaiseau: École Polytechnique, MR  0600704
• Kashiwara, Masaki (1984), "El problema de Riemann-Hilbert para sistemas holonómicos" , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas , 20 (2): 319–365, doi : 10.2977 / prims / 1195181610 , MR  0743382
• Malgrange, Bernard (1991), Équations différentielles à coefficients polyinomiaux , Progress in Mathematics, 96 , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3556-4, MR  1117227
• Mebkhout, Zoghman (1980), "Sur le problėme de Hilbert-Riemann", Análisis complejo, cálculo microlocal y teoría cuántica relativista (Les Houches, 1979) , Lecture Notes in Physics, 126 , Springer-Verlag , págs. 90-110, ISBN 3-540-09996-4, MR  0579742
• Mebkhout, Zoghman (1984), "Une autre équivalence de catégories" , Compositio Mathematica , 51 (1): 63–88, MR  0734785