En matemáticas, el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani relaciona funcionales lineales en espacios de funciones continuas en un espacio localmente compacto con medidas en la teoría de medidas. El teorema lleva el nombre de Frigyes Riesz ( 1909 ) quien lo introdujo para funciones continuas en el intervalo unitario , Andrey Markov ( 1938 ) quien extendió el resultado a algunos espacios no compactos, y Shizuo Kakutani ( 1941 ) quien extendió el resultado a Hausdorff compacto espacios .
Hay muchas variaciones del teorema estrechamente relacionadas, ya que los funcionales lineales pueden ser complejos, reales o positivos , el espacio en el que se definen puede ser el intervalo unitario o un espacio compacto o un espacio localmente compacto , las funciones continuas pueden estar desapareciendo al infinito o tener soporte compacto , y las medidas pueden ser medidas de Baire o medidas regulares de Borel o medidas de Radón o medidas firmadas o medidas complejas .
El teorema de representación para funcionales lineales positivos en C c ( X )
El siguiente teorema representa funcionales lineales positivos en C c ( X ), el espacio de funciones continuas de valores complejos con soporte compacto en un espacio X de Hausdorff localmente compacto . Los conjuntos de Borel en la siguiente declaración se refieren a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos .
Una medida de Borel aditiva contable no negativa μ en un espacio de Hausdorff localmente compacto X es una medida de radón si y solo si
- μ ( K ) <∞ para cada K compacto ;
- Para cada Borel conjunto E ,
- La relación
- se mantiene siempre que E está abierto o cuando E es Borel y μ ( E ) <∞.
Teorema . Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto . Para cualquier funcional lineal positivo en C c ( X ), hay una medida de radón única μ en X tal que
Un enfoque para medir la teoría es comenzar con una medida de radón , definida como un funcional lineal positivo en C c ( X ). Esta es la forma adoptada por Bourbaki ; por supuesto, asume que X comienza la vida como un espacio topológico , en lugar de simplemente como un conjunto. Para espacios localmente compactos se recupera entonces una teoría de integración.
Sin la condición de regularidad, la medida de Borel no tiene por qué ser única. Por ejemplo, sea X el conjunto de ordinales como máximo igual al primer ordinal incontable Ω, con la topología generada por " intervalos abiertos ". El funcional lineal que toma una función continua a su valor en Ω corresponde a la medida regular de Borel con una masa puntual en Ω. Sin embargo, también corresponde a la medida de Borel (no regular) que asigna la medida 1 a cualquier conjunto de Borelsi hay conjunto cerrado e ilimitado con y asigna la medida 0 a otros conjuntos de Borel. (En particular, el singleton {Ω} obtiene la medida 0, al contrario que la medida de masa puntual).
Comentario histórico
En su forma original de F. Riesz (1909), el teorema establece que todo funcional lineal continuo A [ f ] sobre el espacio C ([0, 1]) de funciones continuas en el intervalo [0,1] se puede representar en el formulario
donde α ( x ) es una función de variación acotada en el intervalo [0, 1], y la integral es una integral de Riemann-Stieltjes . Dado que existe una correspondencia uno a uno entre las medidas regulares de Borel en el intervalo y las funciones de variación acotada (que asigna a cada función de variación acotada la medida de Lebesgue-Stieltjes correspondiente, y la integral con respecto a la medida de Lebesgue-Stieltjes concuerda con la integral de Riemann-Stieltjes para funciones continuas), el teorema anterior generaliza el enunciado original de F. Riesz. (Véase Gray (1984), para una discusión histórica).
El teorema de representación para el dual continuo de C 0 ( X )
El siguiente teorema, también conocido como el teorema de Riesz-Markov , da una realización concreta del espacio dual topológico de C 0 ( X ), el conjunto de funciones continuas en X que se desvanecen en el infinito . Los conjuntos de Borel en el enunciado del teorema también se refieren al σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos .
Si μ es una medida de Borel aditiva contable de valor complejo, μ se llama regular si la medida aditiva contable no negativa | μ | es regular como se define arriba.
- Teorema . Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal continuo ψ en C 0 ( X ), hay una única medida de Borel compleja numerablemente aditiva regular μ en X tal que
- La norma de ψ como funcional lineal es la variación total de μ, es decir
- Finalmente, ψ es positivo si y solo si la medida μ no es negativa.
Se puede deducir este enunciado sobre funcionales lineales a partir del enunciado sobre funcionales lineales positivos mostrando primero que un funcional lineal acotado se puede escribir como una combinación lineal finita de positivos.
Referencias
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- Hartig, Donald G. (1983). "El teorema de la representación de Riesz revisitado". American Mathematical Monthly . 90 (4): 277–280. doi : 10.2307 / 2975760 . JSTOR 2975760 .; una presentación teórica de categorías como transformación natural.
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- Weisstein, Eric W. "Teorema de representación de Riesz" . MathWorld .
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