En matemáticas, el isomorfismo de Satake , introducido por Ichirō Satake ( 1963 ), identifica el álgebra de Hecke de un grupo reductivo sobre un campo local con un anillo de invariantes del grupo de Weyl . La equivalencia geométrica de Satake es una versión geométrica del isomorfismo de Satake, probado por Ivan Mirković y Kari Vilonen ( 2007 ).
Declaración
Isomorfismo clásico de Satake Seaser un grupo algebraico semisimple , ser un campo local no arquimediano y sea su anillo de enteros. Es fácil ver esoes grassmanniano . Por simplicidad, podemos pensar que y , un número primo; en este caso,es una variedad algebraica de dimensión infinita ( Ginzburg 2000 ). Uno denota la categoría de todas las funciones esféricas soportadas de forma compacta en biinvariante bajo la acción de como , el campo de los números complejos, que es un álgebra de Hecke y también se puede tratar como un esquema de grupo sobre. Dejar ser el toro máximo de , ser el grupo Weyl de. se puede asociar una variedad de personajes a . Dejar ser el conjunto de todos los co-personajes de , es decir . La variedad de personajeses básicamente el esquema de grupo creado al agregar los elementos de como variables para , es decir . Hay una acción natural de en la variedad de personajes , inducida por la acción natural de en . Entonces el isomorfismo de Satake es un isomorfismo de álgebra de la categoría de funciones esféricas a la-parte invariante de la variedad de cocarácter antes mencionada. En fórmulas:
.
Isomorfismo de Satake geométrico . Como dijo Ginzburg ( Ginzburg 2000 ), "geométrico" significa teoría de la gavilla. Para obtener la versión geométrica del isomorfismo de Satake, se debe cambiar la parte izquierda del isomorfismo, utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría de poleas perversas enpara reemplazar la categoría de funciones esféricas ; el reemplazo es de facto un isomorfismo de álgebra sobre( Ginzburg 2000 ). También hay que reemplazar el lado derecho del isomorfismo por el grupo de Grothendieck de representaciones complejas de dimensión finita del dual de Langlands. de ; el reemplazo es también un isomorfismo de álgebra sobre( Ginzburg 2000 ). Dejardenotar la categoría de gavilla perversa en. Entonces, el isomorfismo geométrico de Satake es
,
donde el en representa el grupo Grothendieck . Obviamente, esto se puede simplificar a
,
que es a fortiori una equivalencia de categorías tannakianas ( Ginzburg 2000 ).
Notas
Referencias
- Gross, Benedict H. (1998), "Sobre el isomorfismo de Satake", Representaciones de Galois en geometría aritmética algebraica (Durham, 1996) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 254 , Cambridge University Press , págs. 223–237, doi : 10.1017 / CBO9780511662010.006 , ISBN 9780521644198, MR 1696481
- Mirković, Ivan; Vilonen, Kari (2007), "Dualidad geométrica de Langlands y representaciones de grupos algebraicos sobre anillos conmutativos", Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95-143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals.2007.166 .95 , ISSN 0003-486X , MR 2342692 , S2CID 14127684
- Satake, Ichirō (1963), "Teoría de funciones esféricas en grupos algebraicos reductivos sobre campos p-ádicos" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 18 (18): 5-69, doi : 10.1007 / BF02684781 , ISSN 1618-1913 , Señor 0195863 , S2CID 4666554
- Ginzburg, Victor (2000). "Gavillas perversas en un grupo de bucle y dualidad de Langlands". arXiv : alg-geom / 9511007 .