En matemáticas , el teorema del núcleo de Schwartz es un resultado fundamental en la teoría de funciones generalizadas , publicado por Laurent Schwartz en 1952. Afirma, en términos generales, que las funciones generalizadas introducidas por Schwartz ( distribuciones de Schwartz ) tienen una teoría de dos variables que incluye todas las formas bilineales razonables en el espaciode funciones de prueba . El espacioen sí mismo consta de funciones suaves de soporte compacto .
Declaración del teorema
Dejar y estar abierto se establece en . Cada distribución define un mapa lineal continuo tal que
( 1 )
para cada . Por el contrario, para cada mapa lineal continuo existe una y solo una distribución tal que ( 1 ) se mantenga. La distribución es el núcleo del mapa .
Nota
Dada una distribución siempre se puede escribir el mapa lineal K informalmente como
así que eso
- .
Núcleos integrales
Las funciones tradicionales del núcleo K ( x , y ) de dos variables de la teoría de los operadores integrales se han ampliado en alcance para incluir sus funciones análogas generalizadas, que pueden ser más singulares de una manera seria, una gran clase de operadores de D a su espacio dual D ' de distribuciones se pueden construir. El objetivo del teorema es afirmar que la clase extendida de operadores se puede caracterizar de manera abstracta, ya que contiene todos los operadores sujetos a una condición de continuidad mínima. Una forma bilineal en D surge al emparejar la distribución de la imagen con una función de prueba.
Un ejemplo simple es que la incorporación natural [.] Del espacio de función de prueba D en D '- enviando cada función de prueba f a la distribución correspondiente [f] - corresponde a la distribución delta
δ ( x - y )
concentrado en la diagonal del espacio euclidiano subrayado, en términos de la función delta de Dirac δ. Si bien esto es a lo sumo una observación, muestra cómo la teoría de la distribución aumenta el alcance. Los operadores integrales no son tan "singulares"; otra forma de decirlo es que para K un núcleo continuo, solo se crean operadores compactos en un espacio como las funciones continuas en [0,1]. El operador I está lejos de ser compacto, y su núcleo se aproxima intuitivamente hablando por funciones en [0,1] × [0,1] con un pico a lo largo de la diagonal x = y y desapareciendo en otra parte.
Este resultado implica que la formación de distribuciones tiene una propiedad importante de "cierre" dentro del dominio tradicional del análisis funcional . Se interpretó (comentario de Jean Dieudonné ) como una fuerte verificación de la idoneidad de la teoría de distribuciones de Schwartz para el análisis matemático más ampliamente visto. En su Éléments d'analyse tomo 7, p. 3 observa que el teorema incluye operadores diferenciales en la misma base que los operadores integrales, y concluye que es quizás el resultado moderno más importante del análisis funcional. Continúa inmediatamente para calificar esa afirmación, diciendo que el entorno es demasiado "vasto" para los operadores diferenciales, debido a la propiedad de monotonicidad con respecto al soporte de una función , que es evidente para la diferenciación. Incluso la monotonicidad con respecto al soporte singular no es característica del caso general; su consideración conduce en la dirección de la teoría contemporánea de los operadores pseudo-diferenciales .
Colectores lisos
Dieudonné demuestra una versión del resultado de Schwartz válida para variedades suaves y resultados de apoyo adicionales, en las secciones 23.9 a 23.12 de ese libro.
Generalización a espacios nucleares
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en Grothendieck 1955 . Tenemos la siguiente generalización del teorema.
Teorema del núcleo de Schwartz : [1] Suponga que X es nuclear , Y es localmente convexa yv es una forma bilineal continua en. Entonces v se origina en un espacio de la forma dónde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y . De manera equivalente, v tiene la forma,
- para todos
dónde y cada uno de y son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, convergiendo a 0) en y , respectivamente.
Ver también
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 172.
Bibliografía
- Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Productos de tensores topológicos y espacios nucleares]. Serie Memorias de la American Mathematical Society (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. Señor 0075539 . OCLC 1315788 .
- Hörmander, L. (1983). El análisis de los operadores diferenciales parciales lineales I . Grundl. Matemáticas. Wissenschaft. 256 . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 . ISBN 3-540-12104-8. Señor 0717035 ..
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .
enlaces externos
- GL Litvinov (2001) [1994], "Forma bilineal nuclear" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press