En matemáticas , el método alterno de Schwarz o el proceso alterno es un método iterativo introducido en 1869-1870 por Hermann Schwarz en la teoría del mapeo conforme . Dadas dos regiones superpuestas en el plano complejo en cada una de las cuales se podía resolver el problema de Dirichlet , Schwarz describió un método iterativo para resolver el problema de Dirichlet en su unión, siempre que su intersección se comportara adecuadamente. Esta fue una de varias técnicas constructivas de mapeo conformal desarrolladas por Schwarz como una contribución al problema de la uniformización , planteado por Riemann.en la década de 1850 y resuelto rigurosamente por Koebe y Poincaré en 1907. Proporcionó un esquema para uniformizar la unión de dos regiones sabiendo uniformizar cada una de ellas por separado, siempre que su intersección fuera topológicamente un disco o un anillo. A partir de 1870, Carl Neumann también contribuyó a esta teoría.
En la década de 1950, el método de Schwarz se generalizó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a un método iterativo para encontrar la solución de un problema de valor de frontera elíptico en un dominio que es la unión de dos subdominios superpuestos. Implica resolver el problema del valor de frontera en cada uno de los dos subdominios por turno, tomando siempre los últimos valores de la solución aproximada como las siguientes condiciones de frontera . Se utiliza en análisis numérico , bajo el nombre de método de Schwarz multiplicativo (en oposición al método de Schwarz aditivo ) como método de descomposición de dominios .
Historia
Fue formulado por primera vez por HA Schwarz [1] y sirvió como una herramienta teórica: su convergencia para ecuaciones diferenciales parciales elípticas generales de segundo orden fue probada por primera vez mucho más tarde, en 1951, por Solomon Mikhlin . [2]
El algoritmo
El problema original considerado por Schwarz era un problema de Dirichlet (con la ecuación de Laplace ) en un dominio que consta de un círculo y un cuadrado parcialmente superpuesto. Para resolver el problema de Dirichlet en uno de los dos subdominios (el cuadrado o el círculo), el valor de la solución debe conocerse en el borde : dado que una parte del borde está contenida en el otro subdominio, el problema de Dirichlet debe resolverse conjuntamente en los dos subdominios. Se introduce un algoritmo iterativo:
- Haz una primera suposición de la solución en la parte del límite del círculo que está contenida en el cuadrado.
- Resuelve el problema de Dirichlet en el círculo.
- Use la solución en (2) para aproximar la solución en el límite del cuadrado
- Resuelve el problema de Dirichlet en el cuadrado
- Use la solución en (4) para aproximar la solución en el límite del círculo, luego vaya al paso (2).
En la convergencia, la solución de la superposición es la misma cuando se calcula en el cuadrado o en el círculo.
Métodos optimizados de Schwarz
La velocidad de convergencia depende del tamaño de la superposición entre los subdominios y de las condiciones de transmisión (condiciones de frontera utilizadas en la interfaz entre los subdominios). Es posible aumentar la velocidad de convergencia de los métodos de Schwarz eligiendo condiciones de transmisión adaptadas: estos métodos se denominan métodos de Schwarz optimizados. [3]
Ver también
Notas
- ^ Ver su artículo ( Schwarz 1870b )
- ↑ Ver el artículo ( Mikhlin 1951 ): el mismo autor ofreció una exposición completa en libros posteriores.
- ^ Gander, Martin J .; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), "Optimized Schwarz Methods", XII Conferencia Internacional sobre Métodos de Descomposición de Dominios ( PDF )
Referencias
Papeles originales
- Schwarz, HA (1869), "Über einige Abbildungsaufgaben", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1869 (70): 105–120, doi : 10.1515 / crll.1869.70.105
- Schwarz, HA (1870a), "Über die Integración der partiellen Differentialgleichung ∂ 2 u / ∂ x 2 + ∂ 2 u / ∂ y 2 = 0 vorgeschriebenen unter Grenz- und Unstetigkeitbedingungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin : 767- 795
- Schwarz, HA (1870b), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren" , Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft en Zürich , 15 : 272-286, JFM 02.0214.02
- Neumann, Carl (1870), "Zur Theorie des Potentiales" , Math. Ana. , 2 (3): 514, doi : 10.1007 / bf01448242
- Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential , Teubner
- Neumann, Carl (1884), Theorie der abelschen Integrale de Vorlesungen über Riemann (2a ed.), Teubner
Mapeo conformal y funciones armónicas
- Nevanlinna, Rolf (1939), "Über das alternierende Verfahren von Schwarz", J. Reine Angew. Matemáticas. , 180 : 121–128
- Nevanlinna, Rolf (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik , 48 : 500–508, doi : 10.1007 / bf01696203
- Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64 , Springer
- Sario, Leo (1953), "Método alternativo sobre superficies arbitrarias de Riemann", Pacific J. Math. , 3 (3): 631–645, doi : 10.2140 / pjm.1953.3.631
- Morgenstern, Dietrich (1956), "Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion", Z. Angew. Matemáticas. Mech. , 36 (7–8): 255–256, doi : 10.1002 / zamm.19560360711 , hdl : 10338.dmlcz / 100409
- Cohn, Harvey (1980), Mapeo conformal en superficies de Riemann , Dover, págs. 242-262, ISBN 0-486-64025-6, Capítulo 12, Procedimientos alternos
- Garnett, John B .; Marshall, Donald E. (2005), medida armónica , Cambridge University Press, ISBN 1139443097
- Freitag, Eberhard (2011), Análisis complejo. 2. Superficies de Riemann, varias variables complejas, funciones abelianas, funciones modulares superiores , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
- de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformización de superficies de Riemann: revisitando un teorema de cien años , traducido por Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi : 10.4171 / 145 , ISBN 978-3-03719-145-3, traducción de texto francés
- Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF) , págs. 123-134 (citado en de Saint-Gervais)
- Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Armonía oculta — Fantasías geométricas: El surgimiento de la teoría de funciones complejas , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-1461457251
PDE y análisis numérico
- Mikhlin, SG (1951), "Sobre el algoritmo de Schwarz", Doklady Akademii Nauk SSSR , n. Ser. (en ruso), 77 : 569–571, MR 0041329 , Zbl 0054.04204
enlaces externos
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Método alternativo de Schwarz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press