Sección (haz de fibras)

Una sección de un paquete . Una sección permite identificar el espacio base con un subespacio de .${\displaystyle s}$${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s(B)}$${\displaystyle E}$

Un campo de vector activado . Una sección de un paquete vectorial tangente es un campo vectorial.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En el campo matemático de la topología , una sección (o sección transversal ) ^[1] de un haz de fibras es una inversa continua a la derecha de la función de proyección . En otras palabras, si es un haz de fibras sobre un espacio base , :${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

entonces una sección de ese haz de fibras es un mapa continuo ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

tal que

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$para todos .${\displaystyle x\in B}$

Una sección es una caracterización abstracta de lo que significa ser un gráfico . La gráfica de una función se puede identificar con una función que toma sus valores en el producto cartesiano , de y :${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

Dejar que sea la proyección sobre el primer factor: . Entonces, una gráfica es cualquier función para la cual .${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \pi (x,y)=x}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

El lenguaje de los haces de fibras permite generalizar esta noción de sección al caso cuando no es necesariamente un producto cartesiano. Si es un haz de fibras, entonces una sección es una opción de punto en cada una de las fibras. La condición simplemente significa que la sección en un punto debe recostarse . (Ver imagen.)${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \sigma (x)}$${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Por ejemplo, cuando es un conjunto de vectores, una sección de es un elemento del espacio vectorial que se encuentra sobre cada punto . En particular, un campo vectorial en una variedad suave es una elección de vector tangente en cada punto de : esta es una sección del paquete tangente de . Asimismo, una forma 1 en es una sección del paquete cotangente .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Las secciones, particularmente de paquetes principales y paquetes vectoriales, también son herramientas muy importantes en geometría diferencial . En esta configuración, el espacio de la base es un colector uniforme y se supone que es un haz de fibras uniforme (es decir, es un colector uniforme y es un mapa uniforme ). En este caso, se considera el espacio de secciones lisas de más de un conjunto abierto , denotado . También es útil en el análisis geométrico considerar espacios de secciones con regularidad intermedia (por ejemplo, secciones o secciones con regularidad en el sentido de las condiciones de Hölder${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$${\displaystyle C^{k}}$o espacios de Sobolev ).

Secciones locales y globales

En general, los haces de fibras no tienen tales secciones globales (considérese, por ejemplo, el haz de fibras sobre con fibra obtenida tomando el haz de Möbius y eliminando la sección cero), por lo que también es útil definir secciones solo localmente. Una sección local de un haz de fibra es un mapa continuo donde hay un conjunto abierto dentro y para todo dentro . Si es una trivialización local de , donde es un homeomorfismo de a (donde está la fibra ), entonces las secciones locales siempre existen sobre${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle s\colon U\to E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi (s(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$en correspondencia biyectiva con mapas continuos de a . Las secciones (locales) forman un haz sobre llamado haz de secciones de .${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

El espacio de las secciones continuas de un haz de fibras a veces se denota , mientras que el espacio de las secciones globales de a menudo se denota o .${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C(U,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

Extendiéndose a secciones globales

Las secciones se estudian en teoría de homotopía y topología algebraica , donde uno de los principales objetivos es dar cuenta de la existencia o no existencia de secciones globales . Una obstrucción niega la existencia de secciones globales ya que el espacio está demasiado "retorcido". Más precisamente, las obstrucciones "obstruyen" la posibilidad de extender una sección local a una sección global debido a la "torsión" del espacio. Las obstrucciones se indican mediante clases de características particulares , que son clases cohomológicas. Por ejemplo, un paquete principal tiene una sección global si y solo si es trivial . Por otro lado, un paquete de vectoressiempre tiene una sección global, es decir, la sección cero . Sin embargo, solo admite una sección que desaparece en ninguna parte si su clase de Euler es cero.

Generalizaciones

Las obstrucciones para extender las secciones locales pueden generalizarse de la siguiente manera: tomar un espacio topológico y formar una categoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos y los morfismos son inclusiones. Por tanto, utilizamos una categoría para generalizar un espacio topológico. Generalizamos la noción de "sección local" utilizando haces de grupos abelianos , que asigna a cada objeto un grupo abeliano (análogo a las secciones locales).

Aquí hay una distinción importante: intuitivamente, las secciones locales son como "campos vectoriales" en un subconjunto abierto de un espacio topológico. Entonces, en cada punto, se asigna un elemento de un espacio vectorial fijo . Sin embargo, las poleas pueden "cambiar continuamente" el espacio vectorial (o más generalmente un grupo abeliano).

Todo este proceso es realmente el functor de sección global , que asigna a cada gavilla su sección global. Entonces, la cohomología de la gavilla nos permite considerar un problema de extensión similar mientras "varía continuamente" el grupo abeliano. La teoría de clases características generaliza la idea de obstrucciones a nuestras extensiones.

Ver también

• Fibracion
• Teoría del calibre
• Paquete principal
• Paquete de retroceso
• Paquete de vectores

Notas

1. Husemöller, Dale (1994), Paquetes de fibra , Springer Verlag, p. 12, ISBN 0-387-94087-1

Referencias

• Norman Steenrod , The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• David Bleecker, Teoría del calibre y principios de variación , publicación de Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• Husemöller, Dale (1994), paquetes de fibra , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

enlaces externos

• Paquete de fibra , PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Paquete de fibra" . MathWorld .