En matemáticas , específicamente en topología , un mapa de cobertura de secuencia es cualquiera de una clase de mapas entre espacios topológicos cuyas definiciones relacionan de alguna manera las secuencias en el codominio con las secuencias en el dominio . Los ejemplos incluyen secuencialmente cociente mapas, revestimientos de secuencia , revestimientos de 1-secuencia , y revestimientos 2 de secuencia . [1] [2] [3] [4] Estas clases de mapas están estrechamente relacionadas con los espacios secuenciales . Si el dominio y / o codominio tienen ciertospropiedades topológicas (a menudo, los espacios son de Hausdorff y el primer contable es más que suficiente), entonces estas definiciones se vuelven equivalentes a otras clases de mapas bien conocidas, como mapas abiertos o mapas de cocientes , por ejemplo. En estas situaciones, las caracterizaciones de tales propiedades en términos de secuencias convergentes pueden proporcionar beneficios similares a los que proporciona, por ejemplo, la caracterización de la continuidad en términos de continuidad secuencial o la caracterización de la compacidad en términos de compacidad secuencial (siempre que tales caracterizaciones se mantengan ).
Definiciones
Preliminares
Un subconjunto de se dice que se abre secuencialmente en si siempre que una secuencia en converge (en ) a algún punto que pertenece a entonces esa secuencia es necesariamente eventualmente en (es decir, a lo sumo, un número finito de puntos en la secuencia no pertenecen a ). El conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente de forma una topología enque es mas fino que topología dada Por definición, se llama espacio secuencial si Dada una secuencia en y un punto en si y solo si en Es más, es la mejor topología en para lo cual esta caracterización de la convergencia de secuencias en sostiene.
Un mapa se llama secuencialmente continuo sies continuo , lo que ocurre si y solo si para cada secuencia en y cada Si en entonces necesariamente en Cada mapa continuo es secuencialmente continuo aunque, en general, lo contrario puede fallar. De hecho, un espacioes un espacio secuencial si y solo si tiene la siguiente propiedad universal para espacios secuenciales :
- para cada espacio topológico y cada mapa el mapa es continuo si y solo si es secuencialmente continuo.
El cierre secuencial en de un subconjunto es el set que consta de todos para el cual existe una secuencia en que converge a en Un subconjunto se llama secuencialmente cerrada en Si que sucede si y solo si siempre que una secuencia en converge en hasta cierto punto entonces necesariamente Un subconjunto es secuencialmente abierto (resp. secuencialmente cerrado) si y solo si su complemento está secuencialmente cerrado (resp. secuencialmente abierto). El espaciose llama un espacio de Fréchet-Urysohn si para cada subconjunto que sucede si y solo si cada subespacio de es un espacio secuencial. Cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn y, por lo tanto, también un espacio secuencial. Todos los espacios pseudometrizables , los espacios metrizables y los segundos espacios contables son los primeros contables.
Secuencias de elevación
Una secuencia en un set es por definición una función cuyo valor en se denota por (aunque la notación habitual utilizada con funciones, como paréntesis o composición puede utilizarse en determinadas situaciones para mejorar la legibilidad). Declaraciones como "la secuenciaes inyectiva "o" la imagen (es decir, rango) de una secuencia es infinito ", así como otra terminología y notación que se define para funciones se puede aplicar a las secuencias. Una secuencia se dice que es una subsecuencia de otra secuencia si existe un mapa estrictamente creciente (posiblemente denotado por en su lugar) tal que para cada donde esta condición se puede expresar en términos de composición de funciones como: Como de costumbre, si se declara que es (como por definición) una subsecuencia de entonces debe asumirse inmediatamente que está aumentando estrictamente. La notación y significa que la secuencia se valora en el conjunto
A lo largo, deja ser un mapa entre los espacios topológicos y [5] [6] [7] [8] [9] [10] [3] [4] Sies una secuencia en luego una secuencia en se llama un levantamiento de por o un -elevador de Si (es decir, para cada ). El mapase dice que es capaz de levantar una secuencia si existe una secuencia tal que Si además el -elevar puede ser elegido para que es una secuencia convergente en luego se llama un elevación convergente de por y se dice que es capaz de levantara una secuencia convergente .
La función se llama un cubriendo la secuencia si puede levantar cada secuencia convergente en a una secuencia convergente en Se llama un Recubrimiento de 1 secuencia si para cada existe algo tal que cada secuencia que converge a en tiene un -elevador que converge a en Es un Recubrimiento de 2 secuencias si es sobreyectiva y también para cada y cada cada secuencia que converge a en tiene un -elevador que converge a en Un mapa es una cubierta compacta si para cada compacto existe un subconjunto compacto tal que
Asignaciones de cocientes secuenciales
En analogía con la definición de continuidad secuencial, un mapa se llama un mapa secuencial de cocientes si
es un mapa de cocientes , [11] que ocurre si y solo si para cualquier subconjunto está secuencialmente abierto si y solo si esto es cierto de en Los mapas de cocientes secuenciales se introdujeron en Boone y Siwiec 1976, quienes los definieron como se indicó anteriormente. [11]
Todo mapa de cociente secuencial es necesariamente sobreyectivo y secuencialmente continuo, aunque puede que no sea continuo. Si es una sobreyección secuencialmente continua cuyo dominio es un espacio secuencial , entonceses un mapa de cocientes si y solo si es un espacio secuencial y es un mapa de cocientes secuencial.
Llamar a un espacio secuencialmente Hausdorff sies un espacio de Hausdorff , o de manera equivalente, si cada secuencia convergente en converge en como máximo a un punto. [12] De manera análoga, una "versión secuencial" de cualquier otro axioma de separación se puede definir en términos de si el espacioposeerlo. Cada espacio de Hausdorff es necesariamente secuencialmente Hausdorff. Un espacio secuencial es Hausdorff si y solo si es secuencialmente Hausdorff.
Si es una sobreyección secuencialmente continua entonces asumiendo que es secuencialmente Hausdorff, los siguientes son equivalentes:
- es un cociente secuencial.
- Cuando sea es una secuencia convergente en entonces existe una secuencia convergente en tal que y es una subsecuencia de
- Esto se puede reformular de la siguiente manera: Siempre que es una secuencia convergente en entonces existe una subsecuencia con un -elevar (es decir está satisfecho) tal que converge en hasta cierto punto
- Cuando sea es una secuencia convergente en entonces existe una secuencia convergente en tal que es una subsecuencia de
- Esta afirmación difiere de (2) anterior solo en que no se imponen requisitos en los límites de las secuencias (lo que se convierte en una diferencia importante solo cuando no es secuencialmente Hausdorff). Esta declaración se puede reformular de la siguiente manera: Siempre que es una secuencia convergente en entonces existe una subsecuencia que tiene un convergente -levante a
- Si es una proyección continua en un espacio secuencialmente compacto entonces esta condición se mantiene incluso si no es secuencialmente Hausdorff.
Si la suposición de que Si se eliminara secuencialmente Hausdorff, entonces la declaración (2) aún implicaría las otras dos declaraciones, pero la caracterización anterior ya no estaría garantizada para ser válida (sin embargo, si se requiriera que los puntos en el codominio se cerraran secuencialmente, cualquier mapa de cociente secuencial necesariamente satisfaría la condición (3)). Esto sigue siendo cierto incluso si el requisito de continuidad secuencial ense reforzó para exigir una continuidad (ordinaria). En lugar de utilizar la definición original, algunos autores definen "mapa de cociente secuencial" para significar una sobreyección continua que satisface la condición (2) o, alternativamente, la condición (3). Si el codominio es secuencialmente Hausdorff, entonces estas definiciones difieren del original solo en el requisito adicional de continuidad (en lugar de simplemente requerir continuidad secuencial).
El mapa se llama si presencial para cada secuencia convergente en tal que no es eventualmente igual a el conjunto se no cerrado secuencialmente en[11] donde este conjunto también puede describirse como:
Equivalentemente, es presencial si y solo si para cada secuencia convergente en tal que el conjunto se no cerrado secuencialmente en
Un mapa sobreyectivo entre espacios de Hausdorff es secuencialmente cociente si y solo si es secuencialmente continuo y un mapa presecuencial. [11]
Mapas y conjuntos relacionados
La preimagen de un conjunto singleton se llama fibra donde si es un mapa y entonces el set se llama la fibra de encima . Un mapa se llama sobreyectivo (resp. Inyectivo , monótono ) si cada una de sus fibras es un conjunto no vacío (resp. Un subconjunto de un conjunto singleton , un subespacio conectado ). Un mapa perfecto es una proyección continua cerrada , cada una de cuyas fibras es compacta .
Un mapa de cociente hereditario es un mapa sobreyectivo si para cada subconjunto la restricción es un mapa de cocientes .
Un mapa casi abierto es un mapa sobreyectivo. con la propiedad que por cada existe algo tal que es un punto de apertura para que por definición significa que para cada vecindario abierto de es un barrio de en Si es un mapa casi abierto, entonces se mantiene la siguiente equivalencia: es un mapa abierto si y solo si siempre pertenecen a la misma fibra de luego para cada vecindario abierto de existe un vecindario abierto de tal que Obsérvese que a diferencia del lado izquierdo, el lado derecho de esta caracterización no depende en modo alguno de topología de
Caracterizaciones
Si es una sobreyección continua entre dos primeros espacios de Hausdorff contables , entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: [5] [6] [7] [8] [9] [10] [3] [4]
- está casi abierto si y solo si es una cubierta de 1 secuencia.
- es un mapa abierto si y solo si es una cobertura de 2 secuencias.
- Si es un mapa de cobertura compacto, entonces es un mapa de cocientes.
- Los siguientes son equivalentes:
- es un mapa de cocientes.
- es un mapa de cocientes secuencial.
- es una secuencia que cubre.
- es un mapa pseudo-abierto.
- Un mapa se llama pseudo-abierto si para cada y cada barrio abierto de (es decir, un subconjunto abierto tal que ), pertenece necesariamente al interior (tomado en) de
y si ademas ambos y son espacios métricos separables , luego se pueden agregar a esta lista:
- es un cociente hereditario.
Propiedades
La siguiente es una condición suficiente para que una sobreyección continua sea secuencialmente abierta, que con supuestos adicionales, da como resultado una caracterización de mapas abiertos . Asumir quees una sobreyección continua desde un espacio regular en un espacio de Hausdorff Si la restricción es un cociente secuencial para cada subconjunto abierto de luego mapea subconjuntos abiertos de para abrir secuencialmente subconjuntos de En consecuencia, si y también son espacios secuenciales , entonceses un mapa abierto si y solo sies secuencialmente cociente (o equivalentemente, cociente ) para cada subconjunto abierto de
Dado un elemento en el codominio de una función continua (no necesariamente sobreyectiva) lo siguiente da una condición suficiente para pertenecer a imagen de: Una familia de subconjuntos de un espacio topológico se dice que es localmente finito en un punto si existe algún barrio abierto de tal que el conjunto es finito. Asumir quees un mapa continuo entre dos primeros espacios contables de Hausdorff y dejar Si existe una secuencia en tal que (1) y (2) existe alguna tal que no es localmente finito en luego Lo contrario es cierto si no hay un punto en el que es localmente constante ; es decir, si no existe ningún subconjunto abierto no vacío de en la que se restringe a un mapa constante (por lo tanto, si ¿Tiene esta propiedad "nunca localmente constante" que se acaba de mencionar, entonces la condición suficiente antes mencionada para un punto en ser un elemento de se convierte en una condición necesaria y suficiente).
Condiciones suficientes
Suponer es una proyección abierta continua desde un primer espacio contable en un espacio de Hausdorff dejar ser cualquier subconjunto no vacío, y dejar dónde denota el cierre de en Entonces dado cualquier y cualquier secuencia en que converge a existe una secuencia en que converge a así como una subsecuencia de tal que (es decir, para todos ). En resumen, esto establece que dada una secuencia convergente tal que luego para cualquier otro pertenecientes a la misma fibra que siempre es posible encontrar una subsecuencia tal que puede ser "levantado" por a una secuencia que converge a
A continuación se muestra que, en determinadas condiciones, el hecho de que la fibra de un mapa sea un conjunto contable es suficiente para garantizar la existencia de un punto de apertura . Sies una secuencia que cubre de un espacio secuencial de Hausdorff en un primer espacio contable de Hausdorff y si es tal que la fibra es un conjunto contable, entonces existe tal que es un punto de apertura para En consecuencia, si es el mapa del cociente entre dos primeros espacios contables de Hausdorff y si cada fibra de es contable, entonces es un mapa casi abierto y, en consecuencia, también una cobertura de 1 secuencia.
Ver también
- Espacio Fréchet-Urysohn
- Abrir mapa
- Mapa perfecto: mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos
- Mapa adecuado : mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta
- Espacio secuencial : un espacio topológico que se puede caracterizar en términos de secuencias.
- Espacio secuencialmente compacto: espacio topológico donde cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
Notas
Citas
- ↑ Franklin, 1965
- ↑ Arkhangel'skii, 1966
- ^ a b c Siwiec 1971
- ^ a b c Siwiec y Mancuso 1971
- ^ a b Foged 1985
- ↑ a b Gruenhage, Michael y Tanaka 1984
- ^ a b Lin y Yan 2001
- ^ a b Shou, Chuan y Mumin 1997
- ^ a b Michael 1972
- ↑ a b Olson, 1974
- ^ a b c d Boone y Siwiec, 1976
- ^ Akiz y Koçak 2019
Referencias
- Arkhangel'skii, AV (1966). "Mapeos y espacios" (PDF) . Encuestas matemáticas rusas . 21 (4): 115-162. Código Bibliográfico : 1966RuMaS..21..115A . doi : 10.1070 / RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN 0036-0279 . Consultado el 10 de febrero de 2021 .
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