En matemáticas , un paquete es una generalización de un paquete de fibras que deja caer la condición de una estructura de producto local. El requisito de una estructura de producto local se basa en que el paquete tenga una topología . Sin este requisito, los objetos más generales se pueden considerar paquetes. Por ejemplo, se puede considerar un paquete de π: E → B con E y B conjuntos . Ya no es cierto que las preimágenes todos deben tener el mismo aspecto, a diferencia de los haces de fibras, donde todas las fibras deben ser isomórficas (en el caso de los haces de vectores ) y homeomórficas .
Definición
Un paquete es un triple ( E , p , B ) donde E , B son conjuntos yp : E → B es un mapa. [1]
- E se llama espacio total
- B es el espacio base del paquete
- p es la proyección
Esta definición de paquete no es restrictiva. Por ejemplo, la función vacía define un paquete. No obstante, sirve bien para introducir la terminología básica, y cada tipo de paquete tiene los ingredientes básicos anteriores con restricciones en E , p , B y, por lo general, hay una estructura adicional.
Para cada b ∈ B , p −1 ( b ) es la fibra o fibra del paquete sobre b .
Un paquete ( E * , p * , B * ) es un subconjunto de ( E , p , B ) si B * ⊂ B , E * ⊂ E y p * = p | E * .
Una sección transversal es un mapa s : B → E tal que p ( s ( b )) = b para cada b ∈ B , es decir, s ( b ) ∈ p −1 ( b ) .
Ejemplos de
- Si E y B son múltiples lisos y p es suave, sobreyectiva y, además, una sumersión , entonces el paquete es un colector Fibered . Aquí y en los siguientes ejemplos, la condición de suavidad puede debilitarse a continua o afilarse a analítica, o podría ser cualquier cosa razonable, como continuamente diferenciable ( C 1 ), en el medio.
- Si para cada dos puntos b 1 y b 2 en la base, las fibras correspondientes p -1 ( b 1 ) y p -1 ( b 2 ) son homotopía equivalente , entonces el haz es una fibración .
- Si para cada dos puntos b 1 y b 2 en la base, las fibras correspondientes p −1 ( b 1 ) y p −1 ( b 2 ) son homeomorfas , y además el haz satisface ciertas condiciones de trivialidad local descritas en el correspondiente artículos enlazados, entonces el paquete es un paquete de fibras . Por lo general, hay una estructura adicional, por ejemplo, una estructura de grupo o una estructura de espacio vectorial , en las fibras además de una topología. Entonces se requiere que el homeomorfismo sea un isomorfismo con respecto a esa estructura, y las condiciones de trivialidad local se agudizan en consecuencia.
- Un haz principal es un haz de fibras dotado de una acción de grupo correcta con determinadas propiedades. Un ejemplo de un paquete principal es el paquete de marcos .
- Si para cada dos puntos b 1 y b 2 en la base, las fibras correspondientes p −1 ( b 1 ) y p −1 ( b 2 ) son espacios vectoriales de la misma dimensión, entonces el paquete es un paquete vectorial si es apropiado. se satisfacen las condiciones de la trivialidad local. El paquete tangente es un ejemplo de paquete vectorial.
Agrupar objetos
Más generalmente, haces o objetos de lote pueden ser definidas en cualquier categoría : en una categoría C , un haz es simplemente un epimorfismo π: E → B . Si la categoría no es concreta , entonces la noción de una preimagen del mapa no está necesariamente disponible. Por lo tanto, estos haces pueden no tener fibras en absoluto, aunque sí las tienen para categorías de comportamiento suficientemente bueno; por ejemplo, para una categoría con retrocesos y un objeto terminal 1, los puntos de B se pueden identificar con morfismos p : 1 → B y la fibra de p se obtiene como el retroceso de p y π. La categoría de paquetes sobre B es una subcategoría de la categoría de sector ( C ↓ B ) de objetos sobre B , mientras que la categoría de paquetes sin objeto base fijo es una subcategoría de la categoría de coma ( C ↓ C ) que también es la categoría de functor C ², la categoría de morfismos en C .
La categoría de paquetes de vectores suaves es un objeto de paquete sobre la categoría de variedades suaves en Cat , la categoría de categorías pequeñas . El funtor que lleva cada variedad a su paquete tangente es un ejemplo de una sección de este objeto de paquete.
Ver también
Notas
- ^ Husemoller 1994 p 11.
Referencias
- Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categórico de la lógica . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado el 2 de noviembre de 2009 .
- Husemoller, Dale (1994) [1966], haces de fibras , Textos de posgrado en matemáticas, 20 , Springer, ISBN 0-387-94087-1
- Vassiliev, Victor (2001) [2001], Introducción a la topología , Student Mathematical Library, Amer Mathematical Society, ISBN 0821821628