En geometría aritmética , el grupo Tate-Shafarevich Ш ( A / K ) de una variedad abeliana A (o más generalmente un esquema de grupo ) definido sobre un campo numérico K consta de los elementos del grupo WC de Weil-Châtelet ( A / K ) = H 1 ( G K , A ) que se vuelven triviales en todas las terminaciones de K (es decir, los campos p -ádicos obtenidos de K, así como sus complejas y reales terminaciones). Por lo tanto, en términos de cohomología de Galois , se puede escribir como
Este grupo fue presentado por Serge Lang y John Tate [1] e Igor Shafarevich . [2] Cassels introdujo la notación Ш ( A / K ) , donde Ш es la letra cirílica " Sha ", para Shafarevich, reemplazando la notación TS más antigua .
Geométricamente, los elementos no triviales del grupo Tate-Shafarevich pueden considerarse como los espacios homogéneos de A que tienen K v - puntos racionales para cada lugar v de K , pero no K - punto racional. Por lo tanto, las medidas de grupo el grado en que el principio de Hasse no lleva a cabo para las ecuaciones racionales con coeficientes en el campo K . Carl-Erik Lind dio un ejemplo de un espacio tan homogéneo, mostrando que la curva del género 1 x 4 - 17 = 2 y 2 tiene soluciones sobre los reales y sobre todo p-campos ádicos, pero no tiene puntos racionales. [3] Ernst S. Selmer dio muchos más ejemplos, como 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 . [4]
El caso especial del grupo Tate-Shafarevich para el esquema de grupo finito que consta de puntos de algún orden finito dado n de una variedad abeliana está estrechamente relacionado con el grupo Selmer .
La conjetura de Tate-Shafarevich establece que el grupo Tate-Shafarevich es finito. Karl Rubin demostró esto para algunas curvas elípticas de rango como máximo 1 con multiplicación compleja . [5] Victor A. Kolyvagin extendió esto a curvas elípticas modulares sobre los racionales de rango analítico como máximo 1 (El teorema de modularidad mostró más tarde que el supuesto de modularidad siempre se cumple). [6]
El emparejamiento Cassels-Tate es un emparejamiento bilineal Ш ( A ) × Ш (  ) → Q / Z , donde A es una variedad abeliana y  es su dual. Cassels introdujo esto para las curvas elípticas , cuando A se puede identificar con  y el emparejamiento es una forma alterna. [7] El núcleo de esta forma es el subgrupo de elementos divisibles, lo cual es trivial si la conjetura de Tate-Shafarevich es cierta. Tate extendió el emparejamiento a las variedades abelianas generales, como una variación de la dualidad Tate . [8] Opción de polarización en Ada un mapa de A a  , que induce un emparejamiento bilineal en Ш ( A ) con valores en Q / Z , pero a diferencia del caso de las curvas elípticas, no es necesario que sea alternante o incluso sesgada simétrica.