Por definición, Si ( x ) es la antiderivada de sen x / x cuyo valor es cero en x = 0 , y si ( x ) es la antiderivada cuyo valor es cero en x = ∞ . Su diferencia está dada por la integral de Dirichlet ,
Las integrales trigonométricas se pueden entender en términos de las llamadas "funciones auxiliares"
Usando estas funciones, las integrales trigonométricas se pueden reexpresar como (cf. Abramowitz y Stegun, p. 232 )
Espiral de Nielsen
Espiral de Nielsen.
La espiral formada por el diagrama paramétrico de si, ci se conoce como espiral de Nielsen.
La espiral está estrechamente relacionada con las integrales de Fresnel y la espiral de Euler . La espiral de Nielsen tiene aplicaciones en procesamiento de visión, construcción de carreteras y vías y otras áreas. [1]
Expansión
Se pueden usar varias expansiones para la evaluación de integrales trigonométricas, dependiendo del rango del argumento.
Serie asintótica (para argumentos grandes)
Estas series son asintóticas y divergentes, aunque pueden utilizarse para estimaciones e incluso evaluaciones precisas en ℜ ( x ) ≫ 1 .
Serie convergente
Estas series son convergentes en cualquier complejo x , aunque para | x | ≫ 1 , la serie convergerá lentamente inicialmente, requiriendo muchos términos para una alta precisión.
Derivación de la expansión de la serie
(Expansión de la serie Maclaurin)
Relación con la integral exponencial del argumento imaginario
Como cada función respectiva es analítica, excepto por el corte en los valores negativos del argumento, el área de validez de la relación debe extenderse a (Fuera de este rango, los términos adicionales que son factores enteros de π aparecen en la expresión).
Los casos de argumento imaginario de la función integro-exponencial generalizada son
que es la parte real de
similar
Evaluación eficiente
Las aproximaciones de Padé de la serie convergente de Taylor proporcionan una forma eficiente de evaluar las funciones para pequeños argumentos. Las siguientes fórmulas, dadas por Rowe et al. (2015), [2] tienen una precisión mejor que 10 −16 para 0 ≤ x ≤ 4 ,
Las integrales pueden evaluarse indirectamente mediante funciones auxiliares. y , que se definen por
^ Gray (1993). Geometría diferencial moderna de curvas y superficies . Boca Ratón. pag. 119.
^ a bRowe, B .; et al. (2015). "GALSIM: El kit de herramientas de simulación de imágenes de galaxias modulares". Astronomía y Computación . 10 : 121. arXiv : 1407.7676 . Bibcode : 2015A & C .... 10..121R . doi : 10.1016 / j.ascom.2015.02.002 . S2CID 62709903 .
Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 5" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 231. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
Otras lecturas
Mathar, RJ (2009). "Evaluación numérica de la integral oscilatoria sobre exp ( i π x ) · x 1 / x entre 1 y ∞". Apéndice B. arXiv : 0912.3844 [ math.CA ].
Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.8.2 - Integrales de coseno y seno" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
Sloughter, Dan. "Prueba de la serie Sine Integral Taylor" (PDF) . Ecuaciones en diferencia a ecuaciones diferenciales .
Temme, NM (2010), "Integrales exponencial, logarítmica, seno y coseno" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248