Cubo chato | |
---|---|
(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 38, E = 60, V = 24 (χ = 2) |
Caras por lados | (8 + 24) {3} +6 {4} |
Notación de Conway | Carolina del Sur |
Símbolos de Schläfli | sr {4,3} o |
ht 0,1,2 {4,3} | |
Símbolo de Wythoff | | 2 3 4 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | O ,1/2B 3 , [4,3] + , (432), orden 24 |
Grupo de rotacion | O , [4,3] + , (432), orden 24 |
Ángulo diedro | 3-3: 153 ° 14′04 ″ (153,23 °) 3-4: 142 ° 59′00 ″ (142,98 °) |
Referencias | U 12 , C 24 , W 17 |
Propiedades | Semiregular convexa quiral |
Caras coloreadas | 3.3.3.3.4 ( figura de vértice ) |
Iicositetraedro pentagonal ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el cubo chato , o cuboctaedro chato , es un sólido de Arquímedes con 38 caras: 6 cuadrados y 32 triángulos equiláteros . Tiene 60 aristas y 24 vértices .
Es un poliedro quiral ; es decir, tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí. La unión de ambas formas es un compuesto de dos cubos chatos , y el casco convexo de ambos conjuntos de vértices es un cuboctaedro truncado .
Kepler lo nombró por primera vez en latín como cubus simus en 1619 en sus Harmonices Mundi . HSM Coxeter , señalando que podría derivarse igualmente del octaedro como el cubo, llamado cuboctaedro chato , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente , y representa una alternancia de un cuboctaedro truncado , que tiene el símbolo de Schläfli.
Dimensiones
Para un cubo chato con una longitud de borde 1, su área de superficie y volumen son:
donde t es la constante de tribonacci
Si el cubo chato original tiene una longitud de borde 1, su icositetraedro pentagonal doble tiene longitudes laterales
- .
En general, el volumen de un cubo chato con longitud de lado se puede encontrar con esta fórmula, usando la t como la constante de tribonacci anterior: [1]
.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cubo plano son todas las permutaciones pares de
- (± 1, ± 1/t, ± t )
con un número par de signos más, junto con todas las permutaciones impares con un número impar de signos más, donde t ≈ 1.83929 es la constante de tribonacci . Tomando las permutaciones pares con un número impar de signos más y las permutaciones impares con un número par de signos más, se obtiene un cubo chato diferente, la imagen especular. Al tomarlos todos juntos, se obtiene el compuesto de dos cubos chatos .
Este cubo chato tiene aristas de longitud , un número que satisface la ecuación
y se puede escribir como
Para obtener un cubo chato con longitud de borde unitaria, divida todas las coordenadas anteriores por el valor α dado anteriormente.
Proyecciones ortogonales
El cubo chato tiene dos proyecciones ortogonales especiales , centradas, en dos tipos de caras: triángulos y cuadrados, corresponden a los planos A 2 y B 2 de Coxeter .
Centrado por | Triángulo de la cara | Cuadrado de la cara | Borde |
---|---|---|---|
Sólido | |||
Estructura alámbrica | |||
Simetría proyectiva | [3] | [4] + | [2] |
Doble |
Baldosas esféricas
El cubo chato también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Los grandes arcos circulares (geodésicos) en la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
centrado en el cuadrado | |
Proyección ortográfica | Proyección estereográfica |
---|
Relaciones geométricas
El cubo chato se puede generar tomando las seis caras del cubo, tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen, luego dándoles a cada una una pequeña rotación en sus centros (todas en sentido horario o antihorario) hasta que los espacios entre ellos se puedan llenar. con triángulos equiláteros .
El cubo chato también se puede derivar del cuboctaedro truncado mediante el proceso de alternancia . 24 vértices del cuboctaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente al cubo chato; los otros 24 forman su imagen especular. El poliedro resultante tiene vértice transitivo pero no uniforme.
Un cubo chato "mejorado", con una cara cuadrada ligeramente más pequeña y caras triangulares un poco más grandes en comparación con el cubo chato uniforme de Arquímedes, es útil como diseño esférico . [2]
Poliedros y teselados relacionados
El cubo chato pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de desairado poliedros y embaldosados con la figura vértice (3.3.3.3. N ) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n = 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .
n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetría n 32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
El cubo de desaire es el segundo en una serie de poliedros de desaire y teselaciones con vértice en la figura 3.3.4.3. n .
4 n 2 mutaciones de simetría de teselaciones chatas : 3.3.4.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetría 4 n 2 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | 42 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
Gráfico cúbico desaire
Gráfico cúbico desaire | |
---|---|
Vértices | 24 |
Bordes | 60 |
Automorfismos | 24 |
Propiedades | Hamiltoniano , regular |
Tabla de gráficos y parámetros |
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico cúbico chato es el gráfico de vértices y aristas del cubo chato , uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 24 vértices y 60 aristas, y es un grafo de Arquímedes . [3]
Ver también
- Compuesto de dos cubos chatos
- Dodecaedro chato
- Azulejos cuadrados chatos
- Cubo truncado
Referencias
- ^ "Cubo de desaire - Calculadora de geometría" . rechneronline.de . Consultado el 26 de mayo de 2020 .
- ^ "Diseños esféricos" por RH Hardin y NJA Sloane
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press , pág. 269
- Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Gaceta matemática . 89 (514): 76–81.
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , cubo Snub ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Gráfico cúbico de desaire" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s4s - snic" .
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Red imprimible editable de un Snub Cube con vista 3D interactiva